ID: 00026334
Груз массой 2 кг, закреплённый на лёгкой пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает горизонтальные свободные гармонические колебания (см. рисунок). Максимальная скорость груза при этом равна 1 м/с. Чему равна максимальная сила упругости пружины?
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Тележка с грузом прицеплена к пружине и катается по горизонтальной поверхности туда-сюда: пружина то растягивается, то сжимается. Это обычный пружинный маятник. Сила упругости у него максимальна там, где пружина деформирована сильнее всего — в крайних точках, где груз на миг останавливается. А скорость максимальна в положении равновесия, где пружина не деформирована совсем.
Почему здесь работает закон сохранения энергии. Колебания в условии названы свободными, то есть трения и сопротивления нет; поверхность горизонтальная, поэтому сила тяжести работы не совершает. Значит, полная механическая энергия «кинетическая плюс энергия упругой деформации» всё время одна и та же — и её можно посчитать в любой удобной точке. Это и связывает известную максимальную скорость с неизвестной максимальной деформацией.
Шаг 1 — приравниваем энергию в двух точках. В положении равновесия пружина не деформирована, вся энергия кинетическая: $E=\dfrac{mv_{\max}^2}{2}$. В крайней точке груз стоит, вся энергия — энергия деформированной пружины: $E=\dfrac{kA^2}{2}$, где $A$ — амплитуда, она же максимальное растяжение (сжатие) пружины. Получаем $\dfrac{mv_{\max}^2}{2}=\dfrac{kA^2}{2}$.
Шаг 2 — находим амплитуду: $A=v_{\max}\sqrt{\dfrac{m}{k}}=1\cdot\sqrt{\dfrac{2}{200}}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1$ м.
Шаг 3 — максимальная сила упругости по закону Гука: $F_{\max}=kA=200\cdot 0{,}1=20$ Н.
Проверим себя другим путём, не считая амплитуду отдельно: $F_{\max}=kA=k\,v_{\max}\sqrt{\dfrac{m}{k}}=v_{\max}\sqrt{km}=1\cdot\sqrt{200\cdot 2}=\sqrt{400}=20$ Н. Совпало — значит, нигде не сбились.