Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00026342

Дано:

$k = 200$ Н/м

$t = 0{,}6$ с

Найти:

$E_к$ — ?

При свободных гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии:

$E = E_п(t) + E_к(t),$

где $E$ — полная энергия системы, $E_п$ — потенциальная энергия пружины, $E_к$ — кинетическая энергия тела.

Обозначим координату $x$ в момент времени $t$ как $x(t)$.

Потенциальная энергия пружины равна:

$E_п(t) = \dfrac{kx(t)^2}{2},$

где $k$ — жёсткость пружины.

При этом полная механическая энергия равна максимальной потенциальной энергии пружины:

$E = E_{п,max} = \dfrac{kx_{max}^2}{2},$

где $x_{max}$ — максимальная координата (амплитуда), по таблице $x_{max} = 20$ см.

Тогда

$E_к(t) = \dfrac{kx_{max}^2}{2} - \dfrac{kx^2(t)}{2} = \dfrac{k}{2}(x_{max}^2 - x^2(t))$

Подставим числа из таблицы ($x(0{,}6) = -14{,}2$ см):

$E_к(0{,}6) = \dfrac{200\ Н/м}{2}\left((0{,}2\ м)^2 - (0{,}142\ м)^2\right) \approx 2$ Дж.

Альтернативное решение

Запишем формулу периода колебаний для пружинного маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}$

$k$ — жёсткость пружины, $M$ — масса груза. Из таблицы видно, что период колебаний равен 1,6 с. Тогда масса груза равна:

$M = \dfrac{T^2k}{4\pi^2}$

При $t = 0$ груз находится в крайнем положении ($x = A$), поэтому координата меняется по закону $x = A\cos(\omega t)$, а скорость изменяется по закону:

$v = -A\omega \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$

где $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — циклическая частота колебаний, $A = 0{,}2$ м — амплитуда колебаний груза, $\varphi_0$ — начальная фаза, равная нулю. Тогда уравнение скорости примет вид:

$v = \dfrac{-2A\pi}{T} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$

По формуле кинетической энергии:

$E_к = \dfrac{Mv^2}{2} = \dfrac{T^2k}{2 \cdot 4\pi^2}\left(\dfrac{-2A\pi}{T} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\right)^2$

Возведём в квадрат и сократим значения:

$E_к = \dfrac{kA^2}{2} \cdot \sin^2\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$

Подставим численные значения ($\dfrac{2\pi \cdot 0{,}6}{1{,}6} = \dfrac{3\pi}{4}$, $\sin^2\dfrac{3\pi}{4} = 0{,}5$):

$E_к = \dfrac{200\ Н/м \cdot (0{,}2\ м)^2}{2} \cdot \sin^2\left(\dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}6\ с}{1{,}6\ с}\right) \approx 2$ Дж.