Груз, подвешенный на пружине жёсткостью 200 Н/м, отклонили от положения равновесия и отпустили, в результате чего он начал совершать колебания вдоль вертикальной оси Ox . Ниже приведены изменения координаты груза x (в сантиметрах, отсчёт от положения равновесия) с течением времени t (в секундах). t равно 0 с — x равно 20 см t равно 0, 2 с — x равно 14, 2 см t равно 0, 4 с — x равно 0 t равно 0, 6 с — x равно минус 14, 2 см t равно 0, 8 с — x равно минус 20 см t равно 1 с — x равно минус 14, 2 см t равно 1, 2 с — x равно 0 t равно 1, 4 с — x равно 14, 2 см t равно 1, 6 с — x равно 20 см t равно 1, 8 с — x равно 14, 2 см Определите кинетическую энергию груза в момент времени 0, 6 с.

Задание 22 ЕГЭ по физике: Груз, подвешенный на пружине жёсткостью 200 Н/м, отклонили от…

№2. Задание 22

ID: 00026342

Груз, подвешенный на пружине жёсткостью $200$ Н/м, отклонили от положения равновесия и отпустили, в результате чего он начал совершать колебания вдоль вертикальной оси $Ox$ . Ниже приведены изменения координаты груза $x$ (в сантиметрах, отсчёт от положения равновесия) с течением времени $t$ (в секундах).

$t=0$ с — $x=20$ см
$t=0{,}2$ с — $x=14{,}2$ см
$t=0{,}4$ с — $x=0$
$t=0{,}6$ с — $x=-14{,}2$ см
$t=0{,}8$ с — $x=-20$ см
$t=1$ с — $x=-14{,}2$ см
$t=1{,}2$ с — $x=0$
$t=1{,}4$ с — $x=14{,}2$ см
$t=1{,}6$ с — $x=20$ см
$t=1{,}8$ с — $x=14{,}2$ см

Определите кинетическую энергию груза в момент времени $0{,}6$ с.

Источник: ФИПИ

Решение

Разберёмся в сюжете. Груз на пружине оттянули и отпустили — он ходит вверх-вниз вдоль оси $Ox$ . В таблице записано, где он находится в разные моменты: координата отсчитывается от положения равновесия и меняется от $+20$ см до $-20$ см. Значит, амплитуда колебаний $A=20$ см $=0{,}2$ м. Нам нужен момент $t=0{,}6$ с, а в нём по таблице $x=-14{,}2$ см $=-0{,}142$ м.

Почему для вертикальной пружины можно считать энергию «как для горизонтальной». Груз висит, и сила тяжести всё время тянет его вниз. Но она лишь смещает положение равновесия: там пружина уже растянута на $x_0=\dfrac{mg}{k}$ . Если отсчитывать координату от этого нового равновесия (а в таблице именно так — координата обращается в нуль дважды за период и симметрична по знаку), то сумма энергии растянутой пружины и потенциальной энергии тяжести ведёт себя ровно как энергия пружины у горизонтального маятника с той же жёсткостью. Поэтому полная энергия колебаний равна $E=\dfrac{kA^2}{2}$ , а в произвольной точке она делится так: $E=\dfrac{kx^2}{2}+E_k$ . Трения нет, поэтому эта сумма постоянна.

Шаг 1 — полная энергия колебаний: $E=\dfrac{kA^2}{2}=\dfrac{200\cdot 0{,}2^2}{2}=\dfrac{200\cdot 0{,}04}{2}=4$ Дж.

Шаг 2 — «пружинная» доля в момент $0{,}6$ с: $\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{200\cdot 0{,}142^2}{2}=\dfrac{200\cdot 0{,}020164}{2}=2{,}0164$ Дж.

Шаг 3 — кинетическая энергия как остаток: $E_k=E-\dfrac{kx^2}{2}=4-2{,}0164=1{,}98\approx 2$ Дж.

Проверим по-другому и заодно поймём, почему ответ такой круглый. Заметь, что $14{,}2\approx\dfrac{20}{\sqrt{2}}$ , то есть $x^2\approx\dfrac{A^2}{2}$ . Тогда на потенциальную часть уходит ровно половина полной энергии, а вторая половина остаётся кинетической: $E_k=\dfrac{E}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ Дж. Совпало.

Ответ

≈2 Дж