Задание 22 ЕГЭ по физике: Стартуя из точки А (см. рисунок), спортсмен движется…

Прочитаем рисунок. Участок AB — прямой отрезок; по нему спортсмен разгоняется из состояния покоя, то есть движется равноускоренно. Дальше от B до C идёт полуокружность, и на ней модуль скорости уже не меняется. Модуль ускорения на обоих участках одинаков — это и связывает участки между собой.

Главная идея: на дуге ускорение не исчезает. Кажется, что если скорость по модулю постоянна, то ускорения нет. Но ускорение — это изменение скорости как вектора, а на повороте вектор скорости меняет направление. Такое ускорение называют центростремительным, оно направлено к центру окружности и равно a=\dfrac{v^2}{r}. Именно поэтому фраза «модуль ускорения на обоих участках одинаков» осмысленна: на прямой ускорение разгоняет, на дуге — заворачивает, а по величине они равны.

Обозначим: a — модуль ускорения, v — скорость в точке B (она же скорость на всей дуге), r — радиус полуокружности, t_1 и t_2 — времена на участках AB и BC.

Шаг 1 — участок AB. Разгон из покоя: v=a t_1, значит t_1=\dfrac{v}{a}.

Шаг 2 — участок BC, находим радиус. Здесь ускорение целиком центростремительное: a=\dfrac{v^2}{r}, откуда r=\dfrac{v^2}{a}.

Шаг 3 — длина полуокружности: s=\pi r=\dfrac{\pi v^2}{a}.

Шаг 4 — время на дуге. Скорость постоянна по модулю, поэтому t_2=\dfrac{s}{v}=\dfrac{\pi v^2}{a v}=\dfrac{\pi v}{a}.

Шаг 5 — отношение времён: \dfrac{t_2}{t_1}=\dfrac{\pi v/a}{v/a}=\pi\approx 3{,}14.

Проверим на числах, чтобы убедиться. Пусть a=2 м/с² и спортсмен разогнался до v=4 м/с. Тогда t_1=2 с, радиус r=\dfrac{16}{2}=8 м, длина дуги \pi\cdot 8\approx 25{,}1 м, время на ней \dfrac{25{,}1}{4}\approx 6{,}28 с. Отношение \dfrac{6{,}28}{2}=3{,}14 — и ни скорость, ни ускорение в ответ не вошли, что и понятно: они сократились.