ID: 00026359
Небольшой кубик массой $m=1$ кг начинает соскальзывать с высоты $H=3$ м по гладкой горке, переходящей в мёртвую петлю (см. рисунок). Определите радиус петли R , если на высоте $h=2,5$ м от нижней точки петли кубик давит на её стенку с силой $F=4$ Н. Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Источник: ФИПИ
Что происходит по рисунку. Кубик отпускают с высоты $H=3$ м, он съезжает по гладкой горке и попадает в «мёртвую петлю» — вертикальную окружность радиуса $R$ с центром $O$. Нас интересует момент, когда кубик находится на высоте $h=2{,}5$ м от нижней точки петли и давит на стенку петли с силой $F=4$ Н. Кубик едет по внутренней стороне петли, поэтому стенка толкает его к центру, а он по третьему закону Ньютона давит на стенку от центра с такой же по модулю силой $N=F=4$ Н.
Два закона, которые тут работают. Первый — сохранение механической энергии: горка и петля гладкие, трения нет, поэтому скорость на любой высоте зависит только от того, насколько кубик опустился. Второй — второй закон Ньютона в проекции на направление «к центру»: кубик едет по окружности, значит у него есть центростремительное ускорение $\dfrac{v^2}{R}$, и создают его реакция стенки и часть силы тяжести.
Шаг 1 — скорость на высоте $h$. Из закона сохранения энергии $mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}$, откуда $v^2=2g(H-h)=2\cdot 10\cdot(3-2{,}5)=10$ м²/с².
Шаг 2 — проекция сил на направление к центру. Центр петли $O$ находится на высоте $R$, кубик — на высоте $h$. Значит, направление «от кубика к центру» имеет вертикальную составляющую, равную доле $\dfrac{R-h}{R}$. Сила тяжести вертикальна и направлена вниз, поэтому её вклад в сторону центра равен $mg\dfrac{R-h}{R}$ (если кубик выше центра, эта величина отрицательна, то есть тяжесть тянет уже от центра). Реакция стенки $N$ направлена строго к центру. Второй закон Ньютона: $N+mg\dfrac{R-h}{R}=\dfrac{mv^2}{R}$.
Шаг 3 — умножаем всё на $R$, чтобы избавиться от дробей: $NR+mg(R-h)=mv^2$.
Шаг 4 — подставляем числа ($m=1$ кг, $N=4$ Н, $g=10$ м/с², $h=2{,}5$ м, $v^2=10$ м²/с²): $4R+10(R-2{,}5)=10$, то есть $4R+10R-25=10$ и $14R=35$.
Шаг 5 — отсюда $R=\dfrac{35}{14}=2{,}5$ м.
Красивая проверка. Получилось $R=h=2{,}5$ м, то есть кубик в этот момент находится ровно на уровне центра петли — сбоку. Там направление к центру горизонтально, и сила тяжести в него вообще не даёт вклада, так что вся центростремительная сила — это реакция стенки: $N=\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{1\cdot 10}{2{,}5}=4$ Н. Ровно то, что дано.