ID: 00026359
Небольшой кубик массой m=1 кг начинает соскальзывать с высоты H=3 м по гладкой горке, переходящей в мёртвую петлю (см. рисунок). Определите радиус петли R , если на высоте h=2,5 м от нижней точки петли кубик давит на её стенку с силой F=4 Н. Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Источник: ФИПИ
Что происходит по рисунку. Кубик отпускают с высоты H=3 м, он съезжает по гладкой горке и попадает в «мёртвую петлю» — вертикальную окружность радиуса R с центром O. Нас интересует момент, когда кубик находится на высоте h=2{,}5 м от нижней точки петли и давит на стенку петли с силой F=4 Н. Кубик едет по внутренней стороне петли, поэтому стенка толкает его к центру, а он по третьему закону Ньютона давит на стенку от центра с такой же по модулю силой N=F=4 Н.
Два закона, которые тут работают. Первый — сохранение механической энергии: горка и петля гладкие, трения нет, поэтому скорость на любой высоте зависит только от того, насколько кубик опустился. Второй — второй закон Ньютона в проекции на направление «к центру»: кубик едет по окружности, значит у него есть центростремительное ускорение \dfrac{v^2}{R}, и создают его реакция стенки и часть силы тяжести.
Шаг 1 — скорость на высоте h. Из закона сохранения энергии mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}, откуда v^2=2g(H-h)=2\cdot 10\cdot(3-2{,}5)=10 м²/с².
Шаг 2 — проекция сил на направление к центру. Центр петли O находится на высоте R, кубик — на высоте h. Значит, направление «от кубика к центру» имеет вертикальную составляющую, равную доле \dfrac{R-h}{R}. Сила тяжести вертикальна и направлена вниз, поэтому её вклад в сторону центра равен mg\dfrac{R-h}{R} (если кубик выше центра, эта величина отрицательна, то есть тяжесть тянет уже от центра). Реакция стенки N направлена строго к центру. Второй закон Ньютона: N+mg\dfrac{R-h}{R}=\dfrac{mv^2}{R}.
Шаг 3 — умножаем всё на R, чтобы избавиться от дробей: NR+mg(R-h)=mv^2.
Шаг 4 — подставляем числа (m=1 кг, N=4 Н, g=10 м/с², h=2{,}5 м, v^2=10 м²/с²): 4R+10(R-2{,}5)=10, то есть 4R+10R-25=10 и 14R=35.
Шаг 5 — отсюда R=\dfrac{35}{14}=2{,}5 м.
Красивая проверка. Получилось R=h=2{,}5 м, то есть кубик в этот момент находится ровно на уровне центра петли — сбоку. Там направление к центру горизонтально, и сила тяжести в него вообще не даёт вклада, так что вся центростремительная сила — это реакция стенки: N=\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{1\cdot 10}{2{,}5}=4 Н. Ровно то, что дано.