ID: 00026357
Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна $S=100$ см². В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой T . Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на $h=5$ см. Найдите силу натяжения нити T .
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет. В цилиндрическом сосуде ко дну привязан нитью деревянный шар. Наливают воду, шар скрывается под водой целиком; он лёгкий, его выталкивает, поэтому нить натягивается и держит его снизу с силой $T$. Если нить перерезать, шар всплывёт и будет плавать, торча часть объёма над водой. Уровень воды при этом опустится на $h=5$ см — ведь под водой теперь остаётся меньшая часть шара, и он вытесняет меньше воды.
Главная идея решения. Уровень падает ровно настолько, насколько уменьшился вытесненный объём. Сосуд цилиндрический, площадь дна постоянна, поэтому «недостающий» объём — это плоский слой высотой $h$ и площадью $S$: $V-V'=Sh$, где $V$ — весь объём шара (пока он под водой), $V'$ — погружённая часть после всплытия. Именно эта разность и нужна для ответа, а сами $V$, $V'$ и масса шара по отдельности не понадобятся.
Почему годится закон Архимеда и условие равновесия. В обоих состояниях шар покоится, значит сумма сил равна нулю. Вода несжимаема и её количество не меняется, поэтому изменение уровня целиком объясняется изменением вытесненного объёма.
Шаг 1 — шар под водой, привязанный. Вверх выталкивает $\rho g V$, вниз тянут сила тяжести $mg$ и нить с силой $T$: $\rho g V=mg+T$, откуда $T=\rho g V-mg$.
Шаг 2 — шар плавает после перерезания нити. Теперь нити нет: $\rho g V'=mg$, то есть $mg=\rho g V'$.
Шаг 3 — подставляем второе в первое: $T=\rho g V-\rho g V'=\rho g\,(V-V')$.
Шаг 4 — выражаем разность объёмов через изменение уровня: $V-V'=Sh$, поэтому $T=\rho g S h$.
Шаг 5 — переводим единицы и считаем: $S=100\ \text{см}^2=100\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2=0{,}01$ м², $h=5\ \text{см}=0{,}05$ м. Тогда $T=1000\cdot 10\cdot 0{,}01\cdot 0{,}05=1000\cdot 10\cdot 5\cdot 10^{-4}=5$ Н.
Красивая проверка смысла: сила натяжения нити оказалась равна весу того самого слоя воды высотой $5$ см, который «ушёл» при всплытии, — $\rho g S h$ и есть вес этого слоя. Никакие данные о материале шара и его размере не понадобились, и это не случайность: вся информация о нём уже спрятана в измеренном изменении уровня.