Гидростатика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017521

Дано

В левом колене керосин (плотность $\rho_1 = 800$ кг/м$^3$) над водой ($\rho_2 = 1000$ кг/м$^3$); $b = 10$ см — высота воды в левом колене, $H = 30$ см — общая высота столба жидкости слева. Найти высоту воды в правом колене $h$.

Идея

Главное правило для покоящейся жидкости: на одной и той же высоте давление в связанном сосуде одинаковое. Возьмём самый нижний горизонтальный уровень в трубке (дно «U») и посчитаем, чем на него давят слева и справа. Слева сверху — лёгкий керосин, под ним — вода; справа — только вода. Керосин легче воды, поэтому слева его столб «стоит выше», а вода справа — ниже. Приравняем давления на дне — и найдём $h$.

Что на схеме

U-образная трубка. Слева голубым показана вода высотой $b$ у самого низа, а над ней до верха — керосин (плотность $\rho_1$); общая высота жидкости слева равна $H$. Справа стоит вода (плотность $\rho_2$) высотой $h$. Видно, что уровень керосина слева поднят выше, чем вода справа.

Шаг 1. Давление на дне слева

Это сумма давлений двух слоёв — воды высотой $b$ и керосина высотой $(H-b)$:

$$p_{\text{лев}} = \rho_2 g\, b + \rho_1 g\,(H-b).$$

Шаг 2. Давление на дне справа

Справа только вода высотой $h$:

$$p_{\text{прав}} = \rho_2 g\, h.$$

Шаг 3. Приравниваем

$$\rho_2 g\, b + \rho_1 g\,(H-b) = \rho_2 g\, h.$$

Делим всё на $\rho_2 g$ и выражаем высоту:

$$h = b + \dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,(H-b).$$

Подстановка

$$h = 10 + \dfrac{800}{1000}\cdot(30-10) = 10 + 0{,}8\cdot 20 = 10 + 16 = 26\ \text{см}.$$

Логично: вода справа поднялась чуть выше воды слева, потому что слева её «придавливает» лёгкий керосин, но не так сильно, как давила бы такая же по высоте вода.