ID: 00026338
В стакан налита вода, а поверх неё – керосин. Однородный шар плавает, погружённый в обе жидкости. При этом треть объёма шара находится в воде. Найдите плотность материала шара.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. В стакане два несмешивающихся слоя: снизу вода, сверху керосин (он легче, поэтому и оказался наверху). Шар застрял на границе: нижняя его часть — в воде, верхняя — в керосине, воздуха он не касается. По условию в воде находится ровно треть объёма шара, значит остальные две трети — в керосине.
Почему работает закон Архимеда и условие плавания. Шар плавает, то есть покоится: равнодействующая сил равна нулю. Опоры нет, нити нет — вниз тянет только сила тяжести, вверх выталкивают обе жидкости. Причём каждая жидкость выталкивает шар пропорционально тому объёму шара, который в неё погружён: вода — по объёму $V/3$, керосин — по объёму $2V/3$. Складывать выталкивающие силы можно потому, что давление в каждой жидкости считается независимо, а суммарная сила — по принципу суперпозиции.
Шаг 1 — обозначения. Пусть $V$ — объём шара, $\rho$ — искомая плотность его материала, $\rho_{\text{в}}=1000$ кг/м³ — плотность воды, $\rho_{\text{к}}=800$ кг/м³ — плотность керосина.
Шаг 2 — условие равновесия шара: $\rho V g=\rho_{\text{в}} g\cdot\dfrac{V}{3}+\rho_{\text{к}} g\cdot\dfrac{2V}{3}$.
Шаг 3 — сокращаем на $Vg$ (шар не нулевого объёма, $g$ не равно нулю): $\rho=\dfrac{\rho_{\text{в}}}{3}+\dfrac{2\rho_{\text{к}}}{3}=\dfrac{\rho_{\text{в}}+2\rho_{\text{к}}}{3}$.
Шаг 4 — считаем: $\rho=\dfrac{1000+2\cdot 800}{3}=\dfrac{1000+1600}{3}=\dfrac{2600}{3}\approx 867$ кг/м³.
Проверим на здравый смысл: плотность шара получилась между $800$ и $1000$ кг/м³ — иначе и быть не могло, ведь в керосине он один утонул бы, а в воде один плавал бы, всплыв на поверхность. И ближе она к керосину, потому что в керосине сидит большая часть шара.