ID: 00026355
Свинцовый шар массой 4 кг подвешен на нити и полностью погружен в воду (см. рисунок). Нить образует с вертикалью угол $\alpha=30^{\circ}.$ Определите силу, с которой нить действует на шар. Плотность свинца $\mathrm{\rho}=11300$ кг/м³. Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар.
Источник: ФИПИ
Что на рисунке. Сосуд с водой, у левой вертикальной стенки висит на нити свинцовый шар, целиком под водой. Нить закреплена выше и в стороне, поэтому она наклонена: с вертикалью она составляет угол $\alpha=30^\circ$. Из-за наклона нити шар прижат к стенке, и та отвечает горизонтальной силой реакции. Трения о стенку нет, поэтому реакция строго горизонтальна.
Почему задача решается через равновесие и закон Архимеда. Шар висит неподвижно, значит сумма всех сил на него равна нулю. Сил четыре: сила тяжести $mg$ вниз, выталкивающая сила $F_A$ вверх, натяжение нити $T$ вдоль нити (вверх и в сторону от стенки) и горизонтальная реакция стенки $N$. Удобный ход: спроецировать всё на вертикаль — тогда горизонтальная реакция стенки исчезнет из уравнения, и останется ровно одна неизвестная, натяжение. Сила Архимеда считается по всему объёму шара, ведь он погружён целиком.
Шаг 1 — находим объём шара через плотность свинца: $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{4}{11300}\approx 3{,}54\cdot 10^{-4}$ м³.
Шаг 2 — сила Архимеда: $F_A=\rho_{\text{в}} g V=1000\cdot 10\cdot 3{,}54\cdot 10^{-4}\approx 3{,}5$ Н. Тот же результат короче: $F_A=mg\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho}=40\cdot\dfrac{1000}{11300}\approx 3{,}5$ Н — вода «съедает» примерно $9\%$ веса, потому что свинец в $11{,}3$ раза плотнее её.
Шаг 3 — сила тяжести: $mg=4\cdot 10=40$ Н.
Шаг 4 — проекция на вертикаль. Вверх работают вертикальная составляющая натяжения $T\cos\alpha$ и сила Архимеда, вниз — сила тяжести: $T\cos\alpha+F_A=mg$.
Шаг 5 — выражаем и считаем: $T=\dfrac{mg-F_A}{\cos\alpha}=\dfrac{40-3{,}5}{\cos 30^\circ}=\dfrac{36{,}5}{0{,}866}\approx 42$ Н.
Проверим правдоподобность. Если бы нить висела вертикально и воды не было, натяжение равнялось бы $40$ Н. Вода уменьшает нагрузку на $3{,}5$ Н, зато наклон нити её увеличивает: держать наискось всегда тяжелее, ведь работает только вертикальная составляющая. Второй эффект оказался сильнее, поэтому $42$ Н чуть больше $40$ Н. Кстати, из горизонтальной проекции можно найти и силу, с которой шар давит на стенку: $N=T\sin 30^\circ\approx 21$ Н.