ID: 00026355
Свинцовый шар массой 4 кг подвешен на нити и полностью погружен в воду (см. рисунок). Нить образует с вертикалью угол \alpha=30^{\circ}. Определите силу, с которой нить действует на шар. Плотность свинца \mathrm{\rho}=11300 кг/м³. Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар.
Источник: ФИПИ
Что на рисунке. Сосуд с водой, у левой вертикальной стенки висит на нити свинцовый шар, целиком под водой. Нить закреплена выше и в стороне, поэтому она наклонена: с вертикалью она составляет угол \alpha=30^\circ. Из-за наклона нити шар прижат к стенке, и та отвечает горизонтальной силой реакции. Трения о стенку нет, поэтому реакция строго горизонтальна.
Почему задача решается через равновесие и закон Архимеда. Шар висит неподвижно, значит сумма всех сил на него равна нулю. Сил четыре: сила тяжести mg вниз, выталкивающая сила F_A вверх, натяжение нити T вдоль нити (вверх и в сторону от стенки) и горизонтальная реакция стенки N. Удобный ход: спроецировать всё на вертикаль — тогда горизонтальная реакция стенки исчезнет из уравнения, и останется ровно одна неизвестная, натяжение. Сила Архимеда считается по всему объёму шара, ведь он погружён целиком.
Шаг 1 — находим объём шара через плотность свинца: V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{4}{11300}\approx 3{,}54\cdot 10^{-4} м³.
Шаг 2 — сила Архимеда: F_A=\rho_{\text{в}} g V=1000\cdot 10\cdot 3{,}54\cdot 10^{-4}\approx 3{,}5 Н. Тот же результат короче: F_A=mg\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho}=40\cdot\dfrac{1000}{11300}\approx 3{,}5 Н — вода «съедает» примерно 9\% веса, потому что свинец в 11{,}3 раза плотнее её.
Шаг 3 — сила тяжести: mg=4\cdot 10=40 Н.
Шаг 4 — проекция на вертикаль. Вверх работают вертикальная составляющая натяжения T\cos\alpha и сила Архимеда, вниз — сила тяжести: T\cos\alpha+F_A=mg.
Шаг 5 — выражаем и считаем: T=\dfrac{mg-F_A}{\cos\alpha}=\dfrac{40-3{,}5}{\cos 30^\circ}=\dfrac{36{,}5}{0{,}866}\approx 42 Н.
Проверим правдоподобность. Если бы нить висела вертикально и воды не было, натяжение равнялось бы 40 Н. Вода уменьшает нагрузку на 3{,}5 Н, зато наклон нити её увеличивает: держать наискось всегда тяжелее, ведь работает только вертикальная составляющая. Второй эффект оказался сильнее, поэтому 42 Н чуть больше 40 Н. Кстати, из горизонтальной проекции можно найти и силу, с которой шар давит на стенку: N=T\sin 30^\circ\approx 21 Н.