ID: 00026336
Семиклассник, выполняя в классе лабораторную работу по исследованию равновесия несмешивающихся жидкостей разной плотности, налил в широкую открытую U -образную трубку с вертикальными прямыми коленами керосин и воду (см. рисунок). На рисунке b = 10 см, Н = 30 см, ρ _{1}и ρ _{2} – плотности жидкостей.
Определите расстояние h , которое забыл измерить семиклассник.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем рисунок. Это U-образная трубка с двумя вертикальными коленами, оба открыты сверху. В левом колене сверху налит керосин — он более лёгкий, поэтому на рисунке именно он обозначен как $\rho_1=800$ кг/м³ и лежит поверх воды. Вода (на рисунке заштрихована и обозначена $\rho_2=1000$ кг/м³) занимает изгиб трубки, низ левого колена и целиком правое колено. Высоты на рисунке отсчитываются от дна трубки: $H=30$ см — до верхней поверхности керосина, $b=10$ см — до границы «керосин–вода» в левом колене, $h$ — до поверхности воды в правом колене. Её и надо найти.
Почему годится закон Паскаля и гидростатика покоящейся жидкости. Жидкости не смешиваются и покоятся, значит давление в них меняется только с глубиной, а на одном и том же горизонтальном уровне внутри одной сплошной жидкости давление одинаково. Уровень границы «керосин–вода» удобен тем, что от него вниз в обоих колёнах идёт только вода — одна и та же сплошная жидкость.
Шаг 1 — считаем давление на уровне границы слева. Сверху атмосфера, под ней столб керосина высотой $H-b$: $p_{\text{лев}}=p_{\text{атм}}+\rho_1 g (H-b)$.
Шаг 2 — считаем давление на том же уровне справа. Сверху атмосфера, под ней столб воды высотой $h-b$: $p_{\text{прав}}=p_{\text{атм}}+\rho_2 g (h-b)$.
Шаг 3 — приравниваем (жидкость покоится, уровень один и тот же, снизу от него вода непрерывна). Атмосферное давление и $g$ сокращаются: $\rho_1 (H-b)=\rho_2 (h-b)$.
Шаг 4 — подставляем числа в сантиметрах, единицы длины сокращаются: $800\cdot(30-10)=1000\cdot(h-10)$, то есть $16\,000=1000h-10\,000$, откуда $1000h=26\,000$ и $h=26$ см.
Проверим, разумно ли это. Керосин легче воды, поэтому его столб должен быть выше водяного: $30$ см против $26$ см — так и вышло. И граница на $10$ см ниже обеих поверхностей, значит керосин действительно лежит сверху и не переливается.