ID: 00026356
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня М ? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. Однородный стержень длиной L=30 см подвешен горизонтально на двух вертикальных пружинах, прикреплённых к его концам. Правая пружина вдвое жёстче левой. К стержню подвешен груз массой m=3 кг, причём не в середине, а ближе к правому краю — на расстоянии d=5 см от правой пружины. Сказано, что при этом стержень остаётся горизонтальным и растяжения обеих пружин одинаковы. Надо найти массу самого стержня.
Что даёт условие «растяжения одинаковы». Пружины изначально одной длины, и если они растянуты одинаково, их нижние концы остаются на одном уровне — стержень и правда горизонтален, всё согласовано. Но главное другое: по закону Гука сила упругости равна kx, поэтому при равных растяжениях силы относятся как жёсткости. Раз правая пружина вдвое жёстче, она тянет вдвое сильнее: F_2=2F_1. Это и есть недостающее уравнение, которое заменяет неизвестные жёсткости.
Почему нужны оба условия равновесия. Стержень покоится, поэтому сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Стержень однородный, значит его сила тяжести Mg приложена в середине, на расстоянии \dfrac{L}{2}=15 см от каждого конца. Груз тянет стержень вниз силой mg в точке, отстоящей от левого конца на L-d=30-5=25 см.
Шаг 1 — сумма вертикальных сил: F_1+F_2=(M+m)g. С учётом F_2=2F_1 получаем 3F_1=(M+m)g, то есть F_1=\dfrac{(M+m)g}{3}, а F_2=\dfrac{2(M+m)g}{3}.
Шаг 2 — уравнение моментов относительно точки крепления левой пружины. Её сила проходит через ось, момента не даёт. Вверх «крутит» сила F_2 на плече L, вниз — сила тяжести стержня на плече \dfrac{L}{2} и вес груза на плече L-d: F_2\, L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d).
Шаг 3 — подставляем F_2: \dfrac{2(M+m)g}{3}\, L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d). Сила g есть в каждом слагаемом — сокращаем.
Шаг 4 — считаем в метрах: \dfrac{2(M+3)}{3}\cdot 0{,}3=M\cdot 0{,}15+3\cdot 0{,}25, то есть 0{,}2\,(M+3)=0{,}15M+0{,}75.
Шаг 5 — раскрываем и решаем: 0{,}2M+0{,}6=0{,}15M+0{,}75, значит 0{,}05M=0{,}15 и M=3 кг.
Проверим. Общий вес системы (3+3)\cdot 10=60 Н, значит F_1=20 Н, F_2=40 Н. Моменты относительно левого конца: вверх 40\cdot 0{,}3=12\ \text{Н}\cdot\text{м}; вниз 30\cdot 0{,}15+30\cdot 0{,}25=4{,}5+7{,}5=12\ \text{Н}\cdot\text{м}. Ровно поровну — равновесие есть.