ID: 00026356
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня М ? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
Какие законы вы использовали для описания равновесия системы? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. Однородный стержень длиной $L=30$ см подвешен горизонтально на двух вертикальных пружинах, прикреплённых к его концам. Правая пружина вдвое жёстче левой. К стержню подвешен груз массой $m=3$ кг, причём не в середине, а ближе к правому краю — на расстоянии $d=5$ см от правой пружины. Сказано, что при этом стержень остаётся горизонтальным и растяжения обеих пружин одинаковы. Надо найти массу самого стержня.
Что даёт условие «растяжения одинаковы». Пружины изначально одной длины, и если они растянуты одинаково, их нижние концы остаются на одном уровне — стержень и правда горизонтален, всё согласовано. Но главное другое: по закону Гука сила упругости равна $kx$, поэтому при равных растяжениях силы относятся как жёсткости. Раз правая пружина вдвое жёстче, она тянет вдвое сильнее: $F_2=2F_1$. Это и есть недостающее уравнение, которое заменяет неизвестные жёсткости.
Почему нужны оба условия равновесия. Стержень покоится, поэтому сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Стержень однородный, значит его сила тяжести $Mg$ приложена в середине, на расстоянии $\dfrac{L}{2}=15$ см от каждого конца. Груз тянет стержень вниз силой $mg$ в точке, отстоящей от левого конца на $L-d=30-5=25$ см.
Шаг 1 — сумма вертикальных сил: $F_1+F_2=(M+m)g$. С учётом $F_2=2F_1$ получаем $3F_1=(M+m)g$, то есть $F_1=\dfrac{(M+m)g}{3}$, а $F_2=\dfrac{2(M+m)g}{3}$.
Шаг 2 — уравнение моментов относительно точки крепления левой пружины. Её сила проходит через ось, момента не даёт. Вверх «крутит» сила $F_2$ на плече $L$, вниз — сила тяжести стержня на плече $\dfrac{L}{2}$ и вес груза на плече $L-d$: $F_2\, L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d)$.
Шаг 3 — подставляем $F_2$: $\dfrac{2(M+m)g}{3}\, L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d)$. Сила $g$ есть в каждом слагаемом — сокращаем.
Шаг 4 — считаем в метрах: $\dfrac{2(M+3)}{3}\cdot 0{,}3=M\cdot 0{,}15+3\cdot 0{,}25$, то есть $0{,}2\,(M+3)=0{,}15M+0{,}75$.
Шаг 5 — раскрываем и решаем: $0{,}2M+0{,}6=0{,}15M+0{,}75$, значит $0{,}05M=0{,}15$ и $M=3$ кг.
Проверим. Общий вес системы $(3+3)\cdot 10=60$ Н, значит $F_1=20$ Н, $F_2=40$ Н. Моменты относительно левого конца: вверх $40\cdot 0{,}3=12\ \text{Н}\cdot\text{м}$; вниз $30\cdot 0{,}15+30\cdot 0{,}25=4{,}5+7{,}5=12\ \text{Н}\cdot\text{м}$. Ровно поровну — равновесие есть.