ID: 00026354
Имеется недеформированная пружина длиной L = 20 см и жёсткостью k = 30 Н/м, груз массой m = 0,2 кг , а также вращающийся с частотой ν = 1 Гц массивный диск. На каком максимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском μ = 0,3. Размерами груза пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на груз.
Источник: ФИПИ
Разберём устройство. Массивный диск крутится вокруг своей оси с частотой $\nu=1$ Гц. На диск кладут грузик и привязывают его пружиной к центру диска. Груз едет по окружности радиуса $r$ вместе с диском, то есть покоится относительно диска, но в лаборатории движется с центростремительным ускорением $a=\omega^2 r$, направленным к центру. Вопрос: как далеко от центра его можно положить, чтобы он не поехал.
Кто тянет груз к центру. Если $r$ больше собственной длины пружины $L$, пружина растянута на $r-L$ и тянет груз к центру с силой $k(r-L)$. Кроме неё в горизонтальной плоскости действует только сила трения покоя; она может быть направлена и к центру, и от центра — как потребуется, — но по модулю не больше $\mu N=\mu mg$ (по вертикали груз не движется, поэтому $N=mg$).
Почему «максимальное расстояние» получается неожиданным образом. Требуемая центростремительная сила растёт с радиусом как $m\omega^2 r$, а пружина тянет как $k(r-L)$. Посчитаем коэффициенты: $m\omega^2=0{,}2\cdot(2\pi\cdot 1)^2=0{,}2\cdot 4\pi^2\approx 0{,}2\cdot 39{,}5\approx 7{,}9$ Н/м, а $k=30$ Н/м. Жёсткость намного больше, поэтому при увеличении $r$ пружина начинает тянуть к центру СИЛЬНЕЕ, чем нужно для окружности, и лишнее приходится компенсировать трением, направленным наружу. Значит, груз «убежит» не наружу, а внутрь, и предел ставит именно условие $k(r-L)-m\omega^2 r\le\mu mg$.
Шаг 1 — угловая скорость: $\omega=2\pi\nu=2\pi\cdot 1\approx 6{,}28$ рад/с, тогда $\omega^2=4\pi^2\approx 39{,}5$ с$^{-2}$.
Шаг 2 — второй закон Ньютона в проекции на направление к центру: $k(r-L)+F_{\text{тр}}=m\omega^2 r$, где $F_{\text{тр}}$ берётся со знаком (к центру — плюс, от центра — минус) и по модулю не превышает $\mu mg$.
Шаг 3 — предельный случай для самого большого $r$: трение направлено ОТ центра и максимально, $F_{\text{тр}}=-\mu mg$. Тогда $k(r-L)-\mu mg=m\omega^2 r$.
Шаг 4 — собираем $r$: $r(k-m\omega^2)=kL+\mu mg$, откуда $r=\dfrac{kL+\mu mg}{k-m\omega^2}$.
Шаг 5 — считаем числитель: $kL+\mu mg=30\cdot 0{,}2+0{,}3\cdot 0{,}2\cdot 10=6+0{,}6=6{,}6$ Н. Знаменатель: $k-m\omega^2=30-7{,}9=22{,}1$ Н/м. Итого $r=\dfrac{6{,}6}{22{,}1}\approx 0{,}30$ м.
Проверим себя. Пружина растянута на $0{,}30-0{,}20=0{,}10$ м и тянет к центру с силой $30\cdot 0{,}1=3$ Н. Для окружности радиуса $0{,}30$ м нужно всего $m\omega^2 r=7{,}9\cdot 0{,}3\approx 2{,}4$ Н. Лишние $3-2{,}4=0{,}6$ Н как раз гасит трение, направленное наружу, и это ровно его предельное значение $\mu mg=0{,}6$ Н. Сходится.