ID: 00026354
Имеется недеформированная пружина длиной L = 20 см и жёсткостью k = 30 Н/м, груз массой m = 0,2 кг , а также вращающийся с частотой ν = 1 Гц массивный диск. На каком максимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском μ = 0,3. Размерами груза пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на груз.
Источник: ФИПИ
Разберём устройство. Массивный диск крутится вокруг своей оси с частотой \nu=1 Гц. На диск кладут грузик и привязывают его пружиной к центру диска. Груз едет по окружности радиуса r вместе с диском, то есть покоится относительно диска, но в лаборатории движется с центростремительным ускорением a=\omega^2 r, направленным к центру. Вопрос: как далеко от центра его можно положить, чтобы он не поехал.
Кто тянет груз к центру. Если r больше собственной длины пружины L, пружина растянута на r-L и тянет груз к центру с силой k(r-L). Кроме неё в горизонтальной плоскости действует только сила трения покоя; она может быть направлена и к центру, и от центра — как потребуется, — но по модулю не больше \mu N=\mu mg (по вертикали груз не движется, поэтому N=mg).
Почему «максимальное расстояние» получается неожиданным образом. Требуемая центростремительная сила растёт с радиусом как m\omega^2 r, а пружина тянет как k(r-L). Посчитаем коэффициенты: m\omega^2=0{,}2\cdot(2\pi\cdot 1)^2=0{,}2\cdot 4\pi^2\approx 0{,}2\cdot 39{,}5\approx 7{,}9 Н/м, а k=30 Н/м. Жёсткость намного больше, поэтому при увеличении r пружина начинает тянуть к центру СИЛЬНЕЕ, чем нужно для окружности, и лишнее приходится компенсировать трением, направленным наружу. Значит, груз «убежит» не наружу, а внутрь, и предел ставит именно условие k(r-L)-m\omega^2 r\le\mu mg.
Шаг 1 — угловая скорость: \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot 1\approx 6{,}28 рад/с, тогда \omega^2=4\pi^2\approx 39{,}5 с^{-2}.
Шаг 2 — второй закон Ньютона в проекции на направление к центру: k(r-L)+F_{\text{тр}}=m\omega^2 r, где F_{\text{тр}} берётся со знаком (к центру — плюс, от центра — минус) и по модулю не превышает \mu mg.
Шаг 3 — предельный случай для самого большого r: трение направлено ОТ центра и максимально, F_{\text{тр}}=-\mu mg. Тогда k(r-L)-\mu mg=m\omega^2 r.
Шаг 4 — собираем r: r(k-m\omega^2)=kL+\mu mg, откуда r=\dfrac{kL+\mu mg}{k-m\omega^2}.
Шаг 5 — считаем числитель: kL+\mu mg=30\cdot 0{,}2+0{,}3\cdot 0{,}2\cdot 10=6+0{,}6=6{,}6 Н. Знаменатель: k-m\omega^2=30-7{,}9=22{,}1 Н/м. Итого r=\dfrac{6{,}6}{22{,}1}\approx 0{,}30 м.
Проверим себя. Пружина растянута на 0{,}30-0{,}20=0{,}10 м и тянет к центру с силой 30\cdot 0{,}1=3 Н. Для окружности радиуса 0{,}30 м нужно всего m\omega^2 r=7{,}9\cdot 0{,}3\approx 2{,}4 Н. Лишние 3-2{,}4=0{,}6 Н как раз гасит трение, направленное наружу, и это ровно его предельное значение \mu mg=0{,}6 Н. Сходится.