Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00026353

Представим себе картинку. Конус похож на колпак: острая вершина смотрит вверх, книзу он расширяется. Шайба лежит снаружи, на скате этого колпака, на расстоянии $L$ от вершины вдоль образующей. Весь колпак крутится вокруг вертикальной оси, и шайба крутится вместе с ним, описывая горизонтальную окружность. Радиус этой окружности — не $L$, а горизонтальная «тень» отрезка $L$: $r=L\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина угла при вершине, то есть угол между образующей и осью.

Какие силы действуют на шайбу. Их три. Сила тяжести $m\vec g$ — вниз. Сила нормальной реакции $\vec N$ — перпендикулярно поверхности конуса, наружу; так как образующая наклонена к вертикали на угол $\alpha$, нормаль составляет угол $\alpha$ с горизонтом, поэтому у неё вертикальная составляющая $N\sin\alpha$ (вверх) и горизонтальная $N\cos\alpha$, направленная от оси. Сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ лежит в плоскости ската, вдоль образующей. На такой поверхности шайба «сползает» вниз-наружу, поэтому трение удерживает её, направляясь вверх вдоль образующей: у него вертикальная составляющая $F_{\text{тр}}\cos\alpha$ (вверх) и горизонтальная $F_{\text{тр}}\sin\alpha$, направленная к оси.

Почему нужен именно второй закон Ньютона с центростремительным ускорением. Шайба относительно конуса неподвижна, но в лаборатории она едет по окружности с постоянной по модулю скоростью, а значит имеет ускорение, направленное строго к оси: $a=\omega^2 r$. Вертикального ускорения нет — по вертикали строгое равновесие. Заметь важную деталь: нормальная реакция здесь толкает шайбу ОТ оси, то есть работает против центростремительного ускорения. Единственная сила, способная удерживать шайбу на окружности, — трение. Поэтому чем быстрее вращение, тем больше требуется трения, и при некотором $\omega$ его запас $\mu N$ исчерпывается: это и есть максимальная угловая скорость.

Шаг 1 — уравнение по вертикали (ускорения нет): $N\sin\alpha+F_{\text{тр}}\cos\alpha-mg=0$.

Шаг 2 — уравнение по горизонтали, ось направим к центру окружности: $F_{\text{тр}}\sin\alpha-N\cos\alpha=m\omega^2 r=m\omega^2 L\sin\alpha$.

Шаг 3 — на пределе трение максимально: $F_{\text{тр}}=\mu N$. Подставляем в первое уравнение: $N(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)=mg$, откуда $N=\dfrac{mg}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}$.

Шаг 4 — подставляем во второе уравнение: $N(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)=m\omega_{\max}^2 L\sin\alpha$, то есть $\dfrac{mg(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}=m\omega_{\max}^2 L\sin\alpha$.

Шаг 5 — масса сокращается, выражаем угловую скорость: $$\omega_{\max}=\sqrt{\dfrac{g\,(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{L\sin\alpha\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}}.$$

Проверим смысл формулы. Подкоренное выражение положительно только при $\mu\sin\alpha\gt\cos\alpha$, то есть при $\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha\gt 1$. И это не придирка, а физика: даже у неподвижного конуса шайба удержится на внешнем скате лишь тогда, когда трения хватает против скатывания, а там условие ровно то же. Чем «острее» колпак (меньше $\alpha$), тем труднее удержать шайбу; чем дальше она от вершины (больше $L$), тем меньше предельная скорость — и то и другое согласуется с житейским опытом.