ID: 00026353
Полый конус с углом при вершине 2 α вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен \mathrm{\mu}. При какой максимальной угловой скорости вращения конуса шайба будет неподвижна относительно конуса, находясь на расстоянии L от вершины? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Источник: ФИПИ
Представим себе картинку. Конус похож на колпак: острая вершина смотрит вверх, книзу он расширяется. Шайба лежит снаружи, на скате этого колпака, на расстоянии L от вершины вдоль образующей. Весь колпак крутится вокруг вертикальной оси, и шайба крутится вместе с ним, описывая горизонтальную окружность. Радиус этой окружности — не L, а горизонтальная «тень» отрезка L: r=L\sin\alpha, где \alpha — половина угла при вершине, то есть угол между образующей и осью.
Какие силы действуют на шайбу. Их три. Сила тяжести m\vec g — вниз. Сила нормальной реакции \vec N — перпендикулярно поверхности конуса, наружу; так как образующая наклонена к вертикали на угол \alpha, нормаль составляет угол \alpha с горизонтом, поэтому у неё вертикальная составляющая N\sin\alpha (вверх) и горизонтальная N\cos\alpha, направленная от оси. Сила трения \vec F_{\text{тр}} лежит в плоскости ската, вдоль образующей. На такой поверхности шайба «сползает» вниз-наружу, поэтому трение удерживает её, направляясь вверх вдоль образующей: у него вертикальная составляющая F_{\text{тр}}\cos\alpha (вверх) и горизонтальная F_{\text{тр}}\sin\alpha, направленная к оси.
Почему нужен именно второй закон Ньютона с центростремительным ускорением. Шайба относительно конуса неподвижна, но в лаборатории она едет по окружности с постоянной по модулю скоростью, а значит имеет ускорение, направленное строго к оси: a=\omega^2 r. Вертикального ускорения нет — по вертикали строгое равновесие. Заметь важную деталь: нормальная реакция здесь толкает шайбу ОТ оси, то есть работает против центростремительного ускорения. Единственная сила, способная удерживать шайбу на окружности, — трение. Поэтому чем быстрее вращение, тем больше требуется трения, и при некотором \omega его запас \mu N исчерпывается: это и есть максимальная угловая скорость.
Шаг 1 — уравнение по вертикали (ускорения нет): N\sin\alpha+F_{\text{тр}}\cos\alpha-mg=0.
Шаг 2 — уравнение по горизонтали, ось направим к центру окружности: F_{\text{тр}}\sin\alpha-N\cos\alpha=m\omega^2 r=m\omega^2 L\sin\alpha.
Шаг 3 — на пределе трение максимально: F_{\text{тр}}=\mu N. Подставляем в первое уравнение: N(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)=mg, откуда N=\dfrac{mg}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}.
Шаг 4 — подставляем во второе уравнение: N(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)=m\omega_{\max}^2 L\sin\alpha, то есть \dfrac{mg(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}=m\omega_{\max}^2 L\sin\alpha.
Шаг 5 — масса сокращается, выражаем угловую скорость: \omega_{\max}=\sqrt{\dfrac{g\,(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{L\sin\alpha\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}}.
Проверим смысл формулы. Подкоренное выражение положительно только при \mu\sin\alpha\gt\cos\alpha, то есть при \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha\gt 1. И это не придирка, а физика: даже у неподвижного конуса шайба удержится на внешнем скате лишь тогда, когда трения хватает против скатывания, а там условие ровно то же. Чем «острее» колпак (меньше \alpha), тем труднее удержать шайбу; чем дальше она от вершины (больше L), тем меньше предельная скорость — и то и другое согласуется с житейским опытом.