ID: 00026348
Поезд трогается от станции и набирает скорость, двигаясь равноускоренно по прямолинейному горизонтальному пути железной дороги. Увеличение скорости поезда на первом километре пути составило 10 м/с. Определите время разгона поезда, если длина участка, на котором поезд увеличивает свою скорость, равна 4 км.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Поезд стоял у станции и тронулся, то есть начальная скорость равна нулю. Разгоняется он равноускоренно на протяжении $4$ км. Известно, что за первый километр скорость выросла на $10$ м/с; поскольку стартовал он с нуля, это значит, что в конце первого километра поезд ехал со скоростью $10$ м/с. Найти нужно всё время разгона.
Почему берём формулу без времени. У равноускоренного движения из покоя есть соотношение $v^2=2as$, связывающее скорость и путь напрямую, без времени. Оно тут идеально подходит: по первому километру мы знаем и путь, и скорость, значит можем найти ускорение. А дальше время находится из $v=at$. Модель равноускоренного движения применима, потому что в условии прямо сказано: путь прямолинейный и горизонтальный, движение равноускоренное, то есть ускорение всё время одно и то же.
Шаг 1 — находим ускорение по первому километру. Из $v_1^2=2as_1$ получаем $a=\dfrac{v_1^2}{2s_1}=\dfrac{10^2}{2\cdot 1000}=\dfrac{100}{2000}=0{,}05$ м/с².
Шаг 2 — находим скорость в конце всего участка длиной $s=4000$ м: $v=\sqrt{2as}=\sqrt{2\cdot 0{,}05\cdot 4000}=\sqrt{400}=20$ м/с.
Шаг 3 — находим время разгона: $t=\dfrac{v}{a}=\dfrac{20}{0{,}05}=400$ с.
Проверим по-другому, сразу через путь: $s=\dfrac{at^2}{2}$, отсюда $t=\sqrt{\dfrac{2s}{a}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 4000}{0{,}05}}=\sqrt{160\,000}=400$ с. То же самое. Заметь заодно приятную закономерность: путь вырос в $4$ раза, а скорость — только в $2$ раза, потому что скорость растёт как корень из пути.