ID: 00026322
На рисунке изображены графики двух процессов, проведённых с идеальным газом при одном и том же давлении. Графики процессов представлены на рисунке. Почему изобара I лежит выше изобары II ? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали для объяснения.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что нарисовано. По вертикальной оси отложена абсолютная температура $T$, по горизонтальной — объём $V$. Изображены два процесса: два прямых отрезка, причём их пунктирные продолжения приходят точно в начало координат. Отрезок I идёт круче, отрезок II — положе. По условию оба процесса шли при одном и том же давлении. Вопрос: чем же тогда газы различаются, если давление у них одинаковое, а линии разные?
Начнём с обоснования того, почему такие линии вообще изображают изобары, — без этого решение неполное. Газ идеальный, значит для него справедливо уравнение состояния (уравнение Менделеева—Клапейрона) $$pV=\nu RT,$$ где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная. Выразим отсюда температуру: $$T=\frac{p}{\nu R}\,V.$$ Если давление постоянно, то множитель перед $V$ — это постоянное число, и зависимость $T$ от $V$ получается линейной, проходящей через начало координат. Именно так и выглядят оба графика: прямые, продолжения которых бьют в нуль. Значит модель идеального газа применима, и оба процесса действительно изобарные.
Шаг 1 — что значит «круче». Угловой коэффициент (наклон) прямой в осях $T$–$V$ равен $$k=\frac{p}{\nu R}.$$ Он и определяет, насколько высоко пойдёт линия. У прямой I наклон больше, чем у прямой II: $k_\text{I}\gt k_\text{II}$.
Шаг 2 — от наклона к количеству вещества. В выражении $k=\dfrac{p}{\nu R}$ величина $R$ — постоянная, а давление по условию одно и то же в обоих процессах. Значит различаться может только $\nu$, и наклон обратно пропорционален количеству вещества. Раз $k_\text{I}\gt k_\text{II}$ при одинаковом $p$, то $$\nu_\text{I}\lt\nu_\text{II}.$$ Газа в первом процессе меньше — меньше молей, а значит и меньше молекул.
Шаг 3 — проверим тот же вывод «в лоб», без разговоров про наклон. Возьмём какой-нибудь один объём $V$ и посмотрим на температуры двух газов при этом объёме: $$T=\frac{pV}{\nu R}.$$ Числитель у обоих одинаков ($p$ по условию одно и то же, $V$ мы взяли одно и то же), поэтому температура тем больше, чем меньше $\nu$. График I лежит выше, то есть при том же объёме его температура больше, значит его $\nu$ меньше. Тот же ответ.
Шаг 4 — почему так получается «по-человечески». Давление газа на стенки создают удары молекул. Если молекул мало, то, чтобы держать то же самое давление в том же объёме, каждая молекула должна бить сильнее и чаще — то есть двигаться быстрее, а это и есть более высокая температура. Формально это видно из уравнения $p=nkT$: при одинаковом $p$ меньшей концентрации $n$ обязана соответствовать большая температура $T$.
И всё сходится: одинаковое давление у двух газов держится по-разному — «много ленивых молекул» (график II) или «мало быстрых молекул» (график I), и второй вариант даёт более крутую изобару.
Изобара I лежит выше изобары II потому, что в первом процессе количество вещества газа (число молекул) меньше, чем во втором.
Обоснование: в осях $T$–$V$ изобара — прямая, проходящая через начало координат, потому что из уравнения состояния идеального газа $pV=\nu RT$ при $p=\text{const}$ следует $$T=\frac{p}{\nu R}\,V,$$ то есть $T$ прямо пропорционально $V$, а угловой коэффициент прямой равен $\dfrac{p}{\nu R}$. Давления в обоих процессах одинаковы, значит наклон определяется только количеством вещества: чем меньше $\nu$, тем больше наклон. Прямая I идёт круче, следовательно $\nu_\text{I}\lt\nu_\text{II}$. То же самое видно и прямым сравнением: при одном и том же объёме $V$ температура $T=\dfrac{pV}{\nu R}$ тем выше, чем меньше $\nu$.