ID: 00026319
На рис. 1 приведена зависимость внутренней энергии U 1 моль идеального одноатомного газа от его объёма V в процессе 1–2–3. Постройте график этого процесса в переменных p – V ( p – давление газа). Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на рис. 2. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.
Рис. 1 Рис. 2
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что дано. На рис. 1 по вертикали отложена внутренняя энергия $U$ одного моля газа, по горизонтали — объём $V$, всё по клеточкам. Снимаем координаты: точка 1 — $(V=2;\,U=2)$, точка 2 — $(V=4;\,U=2)$, точка 3 — $(V=8;\,U=4)$. Участок 1–2 горизонтальный, участок 2–3 — наклонный отрезок; заметь, что если продолжить наклонную влево, она придёт точно в начало координат (при $V=4$ энергия $2$, при $V=8$ энергия $4$ — отношение $U/V$ одинаково). Нужно перерисовать этот процесс в осях $p$–$V$, причём точка 1 на рис. 2 уже стоит: её координаты примерно $(V=2;\,p=5)$ клеток.
Теперь обоснуем главную формулу, без которой задача не решается. Газ по условию идеальный, одноатомный, количество вещества $\nu=1$ моль. У одноатомного идеального газа вся внутренняя энергия — это кинетическая энергия поступательного движения молекул (потенциальной энергией взаимодействия в модели идеального газа пренебрегают), и она равна $$U=\frac{3}{2}\nu RT.$$ Подставим сюда уравнение состояния $\nu RT=pV$ и получим ключевое соотношение $$U=\frac{3}{2}pV.$$ Именно оно и есть «переводчик» между рис. 1 и рис. 2: зная $U$ и $V$, мы однозначно находим давление $p=\dfrac{2U}{3V}$. И ещё одно следствие: раз $U$ пропорциональна $T$, то постоянная внутренняя энергия — это то же самое, что постоянная температура.
Шаг 1 — что за процесс 1–2. На рис. 1 внутренняя энергия не меняется, значит не меняется и температура: это изотермический процесс. Для изотермы верен закон Бойля—Мариотта $pV=\text{const}$. Объём вырос с $2$ до $4$ клеток, то есть в 2 раза, поэтому давление уменьшилось в 2 раза: $$p_2=\frac{p_1}{2}.$$ Проверим по формуле напрямую: $p_1=\dfrac{2U_1}{3V_1}=\dfrac{2\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{3}$, $p_2=\dfrac{2\cdot2}{3\cdot4}=\dfrac{1}{3}$ — действительно вдвое меньше.
Шаг 2 — что за процесс 2–3. Точки 2 и 3 на рис. 1 лежат на прямой, проходящей через начало координат, то есть $U=\text{const}\cdot V$. Подставим это в $U=\dfrac{3}{2}pV$: $$\text{const}\cdot V=\frac{3}{2}pV\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{2\,\text{const}}{3}=\text{const}.$$ Давление не меняется — это изобара. Проверим числами: $p_3=\dfrac{2\cdot4}{3\cdot8}=\dfrac{1}{3}$ — ровно как $p_2$. Значит на участке 2–3 газ расширяется при постоянном давлении, а температура растёт (внутренняя энергия удвоилась, значит и $T$ удвоилась — это закон Гей-Люссака в действии: объём вырос вдвое вместе с температурой).
Шаг 3 — рисуем график в осях $p$–$V$. Начинаем в уже отмеченной точке 1 с координатами $(2;\,5)$. Первый участок — изотерма, а изотерма на диаграмме $p$–$V$ выглядит как гипербола $p=\dfrac{\text{const}}{V}$: ведём плавную спадающую дугу вправо от точки 1 до вертикали $V=4$, где давление должно упасть вдвое, то есть до уровня $p=2{,}5$ клетки. Это точка 2.
Шаг 4 — второй участок. От точки 2 ведём строго горизонтальный отрезок (изобара — горизонталь в осях $p$–$V$) вправо, на уровне $p=2{,}5$ клетки, до вертикали $V=8$. Там ставим точку 3. Готово: график — спадающая дуга, переходящая в горизонтальную полку.
И всё сходится: сначала газ расширялся, не меняя запаса внутренней энергии, и потому «отдавал» давление; потом расширялся уже при фиксированном давлении, а его энергия и температура при этом росли.
Процесс 1–2 — изотерма (внутренняя энергия постоянна, значит постоянна и температура): в осях $p$–$V$ это участок гиперболы, идущий вправо-вниз от точки 1 ($V_1=2$ клетки) до точки 2 ($V_2=4$ клетки); давление уменьшается ровно в 2 раза, потому что объём вырос в 2 раза, а $pV=\text{const}$.
Процесс 2–3 — изобара (на рис. 1 точки 2 и 3 лежат на прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то есть $U\propto V$, а так как $U=\dfrac{3}{2}pV$, отсюда $p=\text{const}$): в осях $p$–$V$ это горизонтальный отрезок на уровне $p_2=\dfrac{p_1}{2}$ от $V_2=4$ клетки до $V_3=8$ клеток.
Итого график состоит из спадающей дуги гиперболы от точки 1 до уровня $p_1/2$ при $V=4$, а затем горизонтального отрезка вправо до $V=8$.