ID: 00026318
Один моль одноатомного идеального газа участвует в процессе 1–2–3–4, график которого изображён на рисунке в координатах V – T , где V – объём газа, Т – абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики, объясните, как изменяются давление газа и средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул в процессах 1–2, 2–3 и 3–4.
Источник: ФИПИ
Сначала аккуратно прочитаем рисунок. Оси такие: по вертикали объём $V$, по горизонтали абсолютная температура $T$, всё нарисовано по клеточкам, поэтому удобно измерять параметры прямо в клетках. Точка 1 стоит справа на высоте одной клетки: $T_1=3$, $V_1=1$. От неё стрелка ведёт влево по горизонтали в точку 2 с координатами $T_2=1$, $V_2=1$. Дальше из точки 2 наклонная стрелка идёт вправо-вверх в точку 3 с координатами $T_3=2$, $V_3=2$; пунктирное продолжение этой наклонной попадает точно в начало координат. И наконец из точки 3 стрелка идёт строго вверх в точку 4: $T_4=2$, $V_4=3$.
Теперь обоснуем инструменты, которыми будем пользоваться, — это обязательная часть решения. Газ по условию одноатомный идеальный, количество вещества постоянно ($\nu=1$ моль). Для идеального газа справедливо уравнение состояния (уравнение Менделеева—Клапейрона) $$pV=\nu RT\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{\nu RT}{V},$$ то есть давление полностью определяется парой $(T,\,V)$, а именно она и отложена по осям — значит по графику давление восстанавливается однозначно. Средняя кинетическая энергия поступательного теплового движения одной молекулы для идеального газа связана с абсолютной температурой соотношением $$\overline{E}_\text{к}=\frac{3}{2}kT,$$ где $k$ — постоянная Больцмана. Значит вопрос про $\overline{E}_\text{к}$ — это на самом деле вопрос про температуру: куда $T$, туда и $\overline{E}_\text{к}$.
Шаг 1 — процесс 1–2. Отрезок горизонтальный, объём не меняется: это изохора, $V=\text{const}=1$. Температура падает с $3$ до $1$, то есть в 3 раза. Средняя кинетическая энергия пропорциональна $T$, поэтому она тоже уменьшается в 3 раза. Давление берём из $p=\dfrac{\nu RT}{V}$: знаменатель постоянен, числитель уменьшился в 3 раза — значит давление уменьшилось в 3 раза (это закон Шарля $\dfrac{p}{T}=\text{const}$). По-молекулярному: молекул столько же и в том же объёме, но они замедлились, поэтому бьют по стенкам слабее.
Шаг 2 — процесс 2–3. Точки 2 и 3 лежат на прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Прямая через начало координат означает прямую пропорциональность $$\frac{V}{T}=\text{const},$$ а это закон Гей-Люссака — признак изобарного процесса. Значит давление на участке 2–3 не меняется. Проверим по формуле: $\dfrac{T_3}{V_3}=\dfrac{2}{2}=1$ и $\dfrac{T_2}{V_2}=\dfrac{1}{1}=1$ — отношение одинаково, давление действительно то же. Температура при этом выросла с $1$ до $2$, то есть вдвое, значит и средняя кинетическая энергия выросла вдвое.
Шаг 3 — процесс 3–4. Отрезок вертикальный, температура не меняется: это изотерма, $T=\text{const}=2$. Раз температура постоянна, средняя кинетическая энергия тоже постоянна. Объём растёт с $2$ до $3$, то есть в $1{,}5$ раза. Из $p=\dfrac{\nu RT}{V}$ при неизменном числителе давление обратно пропорционально объёму (это закон Бойля—Мариотта $pV=\text{const}$), поэтому давление уменьшается в $1{,}5$ раза: $$\frac{p_4}{p_3}=\frac{V_3}{V_4}=\frac{2}{3}.$$
И всё сходится: давление падало дважды и по разным причинам — сначала из-за охлаждения при неизменном объёме, потом из-за расширения при неизменной температуре; а «энергия молекул» вела себя строго как температура, поэтому на изотерме 3–4 она вообще не шевельнулась.
Процесс 1–2 (горизонтальный отрезок, $V=\text{const}$ — изохора, температура убывает в 3 раза): давление уменьшается (в 3 раза), средняя кинетическая энергия теплового движения молекул уменьшается (в 3 раза).
Процесс 2–3 (отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат, $V/T=\text{const}$ — изобара, температура растёт в 2 раза): давление не меняется, средняя кинетическая энергия увеличивается (в 2 раза).
Процесс 3–4 (вертикальный отрезок, $T=\text{const}$ — изотерма, объём растёт в $1{,}5$ раза): давление уменьшается (в $1{,}5$ раза), средняя кинетическая энергия не меняется.
Использованы уравнение состояния идеального газа $pV=\nu RT$ (откуда $p=\dfrac{\nu RT}{V}$) и связь средней кинетической энергии поступательного теплового движения молекулы с абсолютной температурой $\overline{E}_\text{к}=\dfrac{3}{2}kT$.