ID: 00026318
Один моль одноатомного идеального газа участвует в процессе 1–2–3–4, график которого изображён на рисунке в координатах V – T , где V – объём газа, Т – абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики, объясните, как изменяются давление газа и средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул в процессах 1–2, 2–3 и 3–4.
Источник: ФИПИ
Сначала аккуратно прочитаем рисунок. Оси такие: по вертикали объём V, по горизонтали абсолютная температура T, всё нарисовано по клеточкам, поэтому удобно измерять параметры прямо в клетках. Точка 1 стоит справа на высоте одной клетки: T_1=3, V_1=1. От неё стрелка ведёт влево по горизонтали в точку 2 с координатами T_2=1, V_2=1. Дальше из точки 2 наклонная стрелка идёт вправо-вверх в точку 3 с координатами T_3=2, V_3=2; пунктирное продолжение этой наклонной попадает точно в начало координат. И наконец из точки 3 стрелка идёт строго вверх в точку 4: T_4=2, V_4=3.
Теперь обоснуем инструменты, которыми будем пользоваться, — это обязательная часть решения. Газ по условию одноатомный идеальный, количество вещества постоянно (\nu=1 моль). Для идеального газа справедливо уравнение состояния (уравнение Менделеева—Клапейрона) pV=\nu RT\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{\nu RT}{V}, то есть давление полностью определяется парой (T,\,V), а именно она и отложена по осям — значит по графику давление восстанавливается однозначно. Средняя кинетическая энергия поступательного теплового движения одной молекулы для идеального газа связана с абсолютной температурой соотношением \overline{E}_\text{к}=\frac{3}{2}kT, где k — постоянная Больцмана. Значит вопрос про \overline{E}_\text{к} — это на самом деле вопрос про температуру: куда T, туда и \overline{E}_\text{к}.
Шаг 1 — процесс 1–2. Отрезок горизонтальный, объём не меняется: это изохора, V=\text{const}=1. Температура падает с 3 до 1, то есть в 3 раза. Средняя кинетическая энергия пропорциональна T, поэтому она тоже уменьшается в 3 раза. Давление берём из p=\dfrac{\nu RT}{V}: знаменатель постоянен, числитель уменьшился в 3 раза — значит давление уменьшилось в 3 раза (это закон Шарля \dfrac{p}{T}=\text{const}). По-молекулярному: молекул столько же и в том же объёме, но они замедлились, поэтому бьют по стенкам слабее.
Шаг 2 — процесс 2–3. Точки 2 и 3 лежат на прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Прямая через начало координат означает прямую пропорциональность \frac{V}{T}=\text{const}, а это закон Гей-Люссака — признак изобарного процесса. Значит давление на участке 2–3 не меняется. Проверим по формуле: \dfrac{T_3}{V_3}=\dfrac{2}{2}=1 и \dfrac{T_2}{V_2}=\dfrac{1}{1}=1 — отношение одинаково, давление действительно то же. Температура при этом выросла с 1 до 2, то есть вдвое, значит и средняя кинетическая энергия выросла вдвое.
Шаг 3 — процесс 3–4. Отрезок вертикальный, температура не меняется: это изотерма, T=\text{const}=2. Раз температура постоянна, средняя кинетическая энергия тоже постоянна. Объём растёт с 2 до 3, то есть в 1{,}5 раза. Из p=\dfrac{\nu RT}{V} при неизменном числителе давление обратно пропорционально объёму (это закон Бойля—Мариотта pV=\text{const}), поэтому давление уменьшается в 1{,}5 раза: \frac{p_4}{p_3}=\frac{V_3}{V_4}=\frac{2}{3}.
И всё сходится: давление падало дважды и по разным причинам — сначала из-за охлаждения при неизменном объёме, потом из-за расширения при неизменной температуре; а «энергия молекул» вела себя строго как температура, поэтому на изотерме 3–4 она вообще не шевельнулась.
Процесс 1–2 (горизонтальный отрезок, V=\text{const} — изохора, температура убывает в 3 раза): давление уменьшается (в 3 раза), средняя кинетическая энергия теплового движения молекул уменьшается (в 3 раза).
Процесс 2–3 (отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат, V/T=\text{const} — изобара, температура растёт в 2 раза): давление не меняется, средняя кинетическая энергия увеличивается (в 2 раза).
Процесс 3–4 (вертикальный отрезок, T=\text{const} — изотерма, объём растёт в 1{,}5 раза): давление уменьшается (в 1{,}5 раза), средняя кинетическая энергия не меняется.
Использованы уравнение состояния идеального газа pV=\nu RT (откуда p=\dfrac{\nu RT}{V}) и связь средней кинетической энергии поступательного теплового движения молекулы с абсолютной температурой \overline{E}_\text{к}=\dfrac{3}{2}kT.