ID: 00025916
В колебательном контуре (см. рисунок) индуктивность катушки $L=12$ мГн. Какой должна быть индуктивность $L_{x}$ второй катушки, чтобы при переводе ключа К из положения 1 в положение 2 период собственных электромагнитных колебаний в контуре уменьшился в $\sqrt{3}$ раза?
мГн
Источник: ФИПИ
Пока ключ K стоит в положении 1, контур состоит из конденсатора и катушки с индуктивностью $L=12$ мГн, и его период — по формуле Томсона:
$$T_1=2\pi\sqrt{LC}.$$
Когда ключ переводят в положение 2, в контур включается катушка с индуктивностью $L_x$, и период становится
$$T_2=2\pi\sqrt{L_xC}.$$
Отношение периодов:
$$\dfrac{T_2}{T_1}=\sqrt{\dfrac{L_x}{L}}.$$
По условию период должен уменьшиться в $\sqrt3$ раза, то есть $\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{1}{\sqrt3}$. Тогда:
$$\dfrac{L_x}{L}=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ L_x=\dfrac{L}{3}=\dfrac{12}{3}=4\ \text{мГн}.$$