L/C контур — Задание 13 ЕГЭ по физике №00025912

Частота свободных колебаний в контуре находится по формуле Томсона: $f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Значит, чтобы понять, как изменится частота, нужно посмотреть, как меняется произведение $LC$ под корнем.

Площадь пластин конденсатора уменьшили в 9 раз. Поскольку ёмкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин ($C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$), ёмкость тоже уменьшается в 9 раз: $C'=\dfrac{C}{9}$.

Индуктивность катушки увеличили в 4 раза: $L'=4L$.

Новое произведение под корнем:

$$L'C'=4L\cdot\dfrac{C}{9}=\dfrac{4}{9}LC.$$

Тогда новая частота:

$$f'=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\frac{4}{9}LC}}=\dfrac{1}{2\pi\cdot\frac{2}{3}\sqrt{LC}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=1{,}5f.$$

Значит частота увеличится в $1{,}5$ раза — и всё сходится: корень из $4/9$ равен ровно $2/3$, а обратное к нему — $1{,}5$.