ID: 00025317
Камень массой 3 кг падает под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку. Ответ дайте в м/с.
Источник: ФИПИ
На рисунке камень падает под углом 60° к горизонту в тележку с песком, которая стоит на рельсах и может двигаться только по горизонтали. Камень застревает в песке, и после этого известна кинетическая энергия тележки вместе с камнем. Нужно найти скорость камня перед падением.
Рельсы позволяют тележке двигаться только горизонтально — вертикальную составляющую импульса камня «забирают на себя» рельсы (через опору), поэтому сохраняется только горизонтальная составляющая импульса всей системы «камень + тележка».
Горизонтальная составляющая скорости камня перед падением равна $\upsilon\cos\alpha$ (проекция на горизонталь при угле $\alpha=60^\circ$ к горизонту).
Закон сохранения горизонтального импульса при слипании (абсолютно неупругий удар):
$$m\upsilon\cos\alpha=(M+m)u$$
Сначала найдём скорость $u$ тележки с камнем после падения — из её кинетической энергии $E_k=\dfrac{(M+m)u^2}{2}$:
$$u=\sqrt{\dfrac{2E_k}{M+m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}25}{15+3}}=\sqrt{\dfrac{4{,}5}{18}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\ \text{м/с}$$
Теперь подставим в закон сохранения импульса и выразим скорость камня:
$$\upsilon=\dfrac{(M+m)u}{m\cos\alpha}=\dfrac{18\cdot0{,}5}{3\cdot0{,}5}=\dfrac{9}{1{,}5}=6\ \text{м/с}$$
Значит скорость камня перед падением в тележку — 6 м/с.