Закон Всемирного… — Задание 2 ЕГЭ по физике №00025248

Разберёмся в сюжете: две планеты крутятся вокруг одной и той же звезды, и притягивает их звезда с одинаковой по модулю силой, хотя летают они на разных расстояниях.

Сила всемирного тяготения между звездой массой $M$ и планетой массой $m$ на расстоянии $R$ равна $F=G\dfrac{Mm}{R^{2}}$, где $G$ — гравитационная постоянная. Чем дальше планета и чем она легче, тем слабее её тянет к звезде.

Запишем это для обеих планет: $F_{1}=G\dfrac{Mm_{1}}{R_{1}^{2}}$ и $F_{2}=G\dfrac{Mm_{2}}{R_{2}^{2}}$. По условию силы равны: $F_{1}=F_{2}$.

Приравняем правые части и сократим одинаковые $G$ и $M$: $\dfrac{m_{1}}{R_{1}^{2}}=\dfrac{m_{2}}{R_{2}^{2}}$, откуда $\dfrac{m_{1}}{m_{2}}=\dfrac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}$.

Осталось подставить $R_{1}=6R_{2}$: $\dfrac{m_{1}}{m_{2}}=\left(\dfrac{6R_{2}}{R_{2}}\right)^{2}=6^{2}=36$.

И это логично: первая планета летает в шесть раз дальше, значит, чтобы притягиваться к звезде с той же силой, она должна быть куда массивнее — во столько же раз, во сколько ослабляется тяготение с расстоянием, то есть в $36$ раз.