ID: 00021629
Невесомый стержень длиной $4$ м, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет с вертикалью угол $\alpha = 30^\circ$ (см. рисунок). К стержню на некотором расстоянии от верхнего конца подвешен на нити шар массой $2$ кг. Модуль силы нормальной реакции правой стенки ящика, действующей на нижний конец стержня, равен $N = 7{,}5$ Н. На каком расстоянии $x$ от верхнего конца стержня подвешен шар?
Источник: ЕГЭ 2026 пересдача 08.07
$L = 4$ м
$\alpha = 30^\circ$
$m = 2$ кг
$N = 7{,}5$ Н
$g = 10\ \dfrac{м}{с^2}$
Найти:
$x$ — ?
Сделаем рисунок с указанием всех сил, действующих на стержень.
Запишем второй закон Ньютона для стержня:
$\vec{N}_2 + \vec{N} + \vec{N}_1 + m\vec{g} = m\vec{a}$
Так как стержень покоится, $a = 0$. Спроецируем на горизонтальную ось:
$N_2 - N = 0 \Rightarrow N_2 = N$
Момент силы находится по формуле: $M = Fl_0$, где $F$ — сила, $l_0$ — плечо силы $F$ относительно выбранной оси вращения.
Запишем уравнение моментов относительно оси, проходящей через нижнюю точку стержня (точка касания со стенкой). Расстояние от нижнего конца до точки подвеса шара равно $L - x$ (так как $x$ — расстояние от верхнего конца).
$mg \cdot (L - x) \cdot \sin\alpha - N_2 \cdot L \cdot \cos\alpha = 0$
Выразим $x$ с учётом того, что $N_2 = N$:
$mg(L - x)\sin\alpha = NL\cos\alpha$
$L - x = \dfrac{NL\cos\alpha}{mg\sin\alpha} = \dfrac{NL}{mg\tan\alpha}$
$x = L - \dfrac{NL}{mg\tan\alpha} = L\left(1 - \dfrac{N}{mg\tan\alpha}\right)$
Подставим численные значения:
$x = 4\ м \cdot \left(1 - \dfrac{7{,}5\ Н}{2\ кг \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2} \cdot \tan 30^\circ}\right) \approx 1{,}4$ м
Ответ:
$x = L\left(1 - \dfrac{N}{mg\tan\alpha}\right) \approx 1{,}4$ м
Ответ:
$x = L\left(1 - \dfrac{N}{mg\tan\alpha}\right) \approx 1{,}4$ м