ID: 00019504
Какой заряд установится на конденсаторе $C$ ёмкостью $1$ мкФ после замыкания ключа $K$ в цепи, схема которой изображена на рисунке? Параметры цепи: $U = 12$ В, $R_1 = 3$ Ом, $R_2 = 1$ Ом, $R_3 = 2$ Ом, $R_4 = 4$ Ом. Внутреннее сопротивление батареи равно нулю.
Источник: ФИПИ
После замыкания ключа прошло много времени — в цепи установился постоянный ток. Заряженный конденсатор в таком режиме ток через себя не пропускает, поэтому его ветвь «заперта». Сначала найдём токи и потенциалы в чисто резистивной части цепи, затем — напряжение между обкладками конденсатора, а заряд возьмём по формуле $q = C U_C$.
Через конденсатор ток не идёт, поэтому весь ток источника проходит через $R_1$. В узле за $R_1$ ток разветвляется: часть течёт через $R_2$, часть — через последовательную пару $R_3$ и $R_4$. Значит, $R_2$ соединён параллельно сумме $(R_3+R_4)$, а вся группа — последовательно с $R_1$:
$R_{34}=R_3+R_4=2+4=6$ Ом, $\quad R_{\text{п}}=\dfrac{R_2 R_{34}}{R_2+R_{34}}=\dfrac{1\cdot 6}{1+6}=\dfrac{6}{7}$ Ом,
$R_{\text{общ}}=R_1+R_{\text{п}}=3+\dfrac{6}{7}=\dfrac{27}{7}$ Ом.
Полный ток источника: $I=\dfrac{U}{R_{\text{общ}}}=\dfrac{12}{27/7}=\dfrac{28}{9}\approx 3{,}1$ А. Падение напряжения на $R_1$: $U_{R_1}=I R_1=\dfrac{28}{9}\cdot 3=\dfrac{28}{3}$ В.
Напряжение на параллельном участке: $U_{\text{пар}}=U-U_{R_1}=12-\dfrac{28}{3}=\dfrac{8}{3}$ В. Тогда ток через ветвь $R_3R_4$: $I_{34}=\dfrac{U_{\text{пар}}}{R_3+R_4}=\dfrac{8/3}{6}=\dfrac{4}{9}$ А.
Одна обкладка конденсатора подключена к «плюсу» источника (туда же, куда и левый вывод $R_1$), вторая — к точке между $R_3$ и $R_4$. Идём от «плюса» к этой точке через $R_1$ и $R_3$ и складываем падения напряжения:
$U_C=U_{R_1}+I_{34}R_3=\dfrac{28}{3}+\dfrac{4}{9}\cdot 2=\dfrac{28}{3}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{92}{9}\approx 10{,}2$ В.
$q=C U_C=1\ \text{мкФ}\cdot\dfrac{92}{9}\ \text{В}=\dfrac{92}{9}\approx 10{,}2$ мкКл.
$q \approx 10{,}2$ мкКл