ID: 00026600
Батарея ЭДС соединена с реостатом так, как показано на рисунке. Какова ЭДС батареи, если при силе тока в цепи I _{1} = 1 А выделяемая на реостате мощность N _{1} = 4 Вт, а при силе тока I _{2} = 5 А выделяемая на реостате мощность N _{2} = 10 Вт?
Источник: ФИПИ
Схема на рисунке проще некуда: источник с ЭДС и внутренним сопротивлением, а к нему подключён реостат — резистор, сопротивление которого можно крутить ручкой. Именно потому, что реостат «крутят», в двух опытах получаются разные токи. А вот ЭДС источника и его внутреннее сопротивление в обоих опытах одни и те же — это две неизвестные, которые мы и будем искать.
Шаг 1 — сопротивление реостата в каждом опыте. Мощность, выделяемая на резисторе, по закону Джоуля–Ленца равна N=I^2R. Отсюда R=\dfrac{N}{I^2}. Первый опыт: R_1=\dfrac{4}{1^2}=4 Ом. Второй опыт: R_2=\dfrac{10}{5^2}=\dfrac{10}{25}=0{,}4 Ом. Реостат заметно «убавили» — потому ток и вырос.
Шаг 2 — закон Ома для полной цепи. Для замкнутой цепи \mathcal{E}=I(R+r), где r — внутреннее сопротивление источника. Запишем это для обоих опытов: \mathcal{E}=I_1(R_1+r)=1\cdot(4+r)=4+r и \mathcal{E}=I_2(R_2+r)=5\cdot(0{,}4+r)=2+5r.
Шаг 3 — решаем систему. ЭДС у источника одна и та же, значит правые части равны: 4+r=2+5r. Переносим: 4-2=5r-r, то есть 2=4r и r=0{,}5 Ом.
Шаг 4 — находим ЭДС. Подставим r в любое из выражений: \mathcal{E}=4+0{,}5=4{,}5 В.
Проверим по второму опыту, чтобы не ошибиться: \mathcal{E}=5\cdot(0{,}4+0{,}5)=5\cdot0{,}9=4{,}5 В. Оба опыта дают одно и то же — значит, система решена верно.
Ещё один взгляд на результат: во втором опыте мощность на реостате всего 10 Вт, хотя источник отдаёт \mathcal{E}I_2=4{,}5\cdot5=22{,}5 Вт. Разница 12{,}5 Вт греет сам источник: I_2^2r=25\cdot0{,}5=12{,}5 Вт. Всё сходится.
Обоснование модели. Используются два закона: закон Ома для полной цепи \mathcal{E}=I(R+r) и закон Джоуля–Ленца в форме N=I^2R для мощности на участке. Пользоваться ими в таком виде можно потому, что источник считается имеющим постоянные \mathcal{E} и r (они не зависят от тока), ток постоянный, а реостат — обычный омический проводник, на котором вся электрическая энергия переходит в тепло. Два опыта дают два независимых уравнения, и этого ровно хватает, чтобы найти две неизвестные величины.