ID: 00026600
Батарея ЭДС соединена с реостатом так, как показано на рисунке. Какова ЭДС батареи, если при силе тока в цепи $I_{1}$ = 1 А выделяемая на реостате мощность $N_{1}$ = 4 Вт, а при силе тока $I_{2}$ = 5 А выделяемая на реостате мощность $N_{2}$ = 10 Вт?
Источник: ФИПИ
Схема на рисунке проще некуда: источник с ЭДС и внутренним сопротивлением, а к нему подключён реостат — резистор, сопротивление которого можно крутить ручкой. Именно потому, что реостат «крутят», в двух опытах получаются разные токи. А вот ЭДС источника и его внутреннее сопротивление в обоих опытах одни и те же — это две неизвестные, которые мы и будем искать.
Шаг 1 — сопротивление реостата в каждом опыте. Мощность, выделяемая на резисторе, по закону Джоуля–Ленца равна $N=I^2R$. Отсюда $R=\dfrac{N}{I^2}$. Первый опыт: $R_1=\dfrac{4}{1^2}=4$ Ом. Второй опыт: $R_2=\dfrac{10}{5^2}=\dfrac{10}{25}=0{,}4$ Ом. Реостат заметно «убавили» — потому ток и вырос.
Шаг 2 — закон Ома для полной цепи. Для замкнутой цепи $\mathcal{E}=I(R+r)$, где $r$ — внутреннее сопротивление источника. Запишем это для обоих опытов: $\mathcal{E}=I_1(R_1+r)=1\cdot(4+r)=4+r$ и $\mathcal{E}=I_2(R_2+r)=5\cdot(0{,}4+r)=2+5r$.
Шаг 3 — решаем систему. ЭДС у источника одна и та же, значит правые части равны: $4+r=2+5r$. Переносим: $4-2=5r-r$, то есть $2=4r$ и $r=0{,}5$ Ом.
Шаг 4 — находим ЭДС. Подставим $r$ в любое из выражений: $\mathcal{E}=4+0{,}5=4{,}5$ В.
Проверим по второму опыту, чтобы не ошибиться: $\mathcal{E}=5\cdot(0{,}4+0{,}5)=5\cdot0{,}9=4{,}5$ В. Оба опыта дают одно и то же — значит, система решена верно.
Ещё один взгляд на результат: во втором опыте мощность на реостате всего $10$ Вт, хотя источник отдаёт $\mathcal{E}I_2=4{,}5\cdot5=22{,}5$ Вт. Разница $12{,}5$ Вт греет сам источник: $I_2^2r=25\cdot0{,}5=12{,}5$ Вт. Всё сходится.
Обоснование модели. Используются два закона: закон Ома для полной цепи $\mathcal{E}=I(R+r)$ и закон Джоуля–Ленца в форме $N=I^2R$ для мощности на участке. Пользоваться ими в таком виде можно потому, что источник считается имеющим постоянные $\mathcal{E}$ и $r$ (они не зависят от тока), ток постоянный, а реостат — обычный омический проводник, на котором вся электрическая энергия переходит в тепло. Два опыта дают два независимых уравнения, и этого ровно хватает, чтобы найти две неизвестные величины.