ID: 00026607
При изучении закона Ома для полной электрической цепи ученик исследовал зависимость напряжения на полюсах источника тока от силы тока во внешней цепи (см. рисунок).
Внутреннее сопротивление источника не зависит от силы тока. Сопротивление вольтметра велико, сопротивление амперметра пренебрежимо мало.
При силе тока в цепи 1 А вольтметр показывал напряжение 4,4 В, а при силе тока 2 А – напряжение 3,3 В.
Определите, какую силу тока покажет амперметр при показаниях вольтметра, равных 1,0 В.
Источник: ФИПИ
На фотографии — обычная школьная установка: батарейка, к ней подключены вольтметр и амперметр, а ток в цепи меняют реостатом. Ученик снимает пары значений «сила тока — напряжение на полюсах источника» и хочет по ним предсказать, что покажет амперметр при напряжении $1{,}0$ В. Ключ к задаче — то, что напряжение на клеммах источника падает по мере роста тока, и падает строго по линейному закону.
Шаг 1 — какой закон связывает $U$ и $I$. Закон Ома для полной цепи: $\mathcal{E}=U+Ir$, то есть ЭДС расходуется на внешнюю цепь и на «прокачку» тока внутри самого источника. Отсюда напряжение на полюсах: $U=\mathcal{E}-Ir$. Две неизвестные — $\mathcal{E}$ и $r$; по условию они не зависят от тока, значит одинаковы во всех трёх ситуациях.
Шаг 2 — составляем систему по двум измерениям. При $I_1=1$ А было $U_1=4{,}4$ В: $4{,}4=\mathcal{E}-1\cdot r$. При $I_2=2$ А стало $U_2=3{,}3$ В: $3{,}3=\mathcal{E}-2r$.
Шаг 3 — находим внутреннее сопротивление. Вычтем второе уравнение из первого: $4{,}4-3{,}3=(\mathcal{E}-r)-(\mathcal{E}-2r)$, то есть $1{,}1=r$. Получилось $r=1{,}1$ Ом. Смысл прост: каждый добавленный ампер «съедает» $1{,}1$ вольта на внутреннем сопротивлении.
Шаг 4 — находим ЭДС. Подставим $r$ в первое уравнение: $\mathcal{E}=U_1+I_1r=4{,}4+1\cdot1{,}1=5{,}5$ В. Проверка по второму: $3{,}3+2\cdot1{,}1=3{,}3+2{,}2=5{,}5$ В — совпало.
Шаг 5 — отвечаем на вопрос. Пусть теперь вольтметр показывает $U_3=1{,}0$ В. Из того же закона: $I_3=\dfrac{\mathcal{E}-U_3}{r}=\dfrac{5{,}5-1{,}0}{1{,}1}=\dfrac{4{,}5}{1{,}1}\approx4{,}09$ А, то есть примерно $4{,}1$ А.
Полезно понимать, что происходит физически: чтобы вольтметр показал всего $1$ В, внешнее сопротивление надо сильно уменьшить — реостат почти выводят. Тогда почти вся ЭДС теряется внутри источника, и ток подскакивает до четырёх с лишним ампер. Кстати, внешнее сопротивление в этот момент равно $R=\dfrac{U_3}{I_3}=\dfrac{1{,}0}{4{,}09}\approx0{,}24$ Ом — действительно очень мало.
Почему в решении не понадобились поправки на приборы. Условие прямо говорит: сопротивление вольтметра велико, поэтому он почти не отбирает ток и показывает истинное напряжение на полюсах; сопротивление амперметра пренебрежимо мало, поэтому он не добавляет лишнего сопротивления в цепь и показывает истинный ток. Дополнительно сказано, что $r$ не зависит от силы тока, — только это и даёт право считать зависимость $U(I)$ прямой линией и пользоваться двумя точками для нахождения обеих характеристик источника. Использованы: закон Ома для полной цепи $\mathcal{E}=I(R+r)$ в форме $U=\mathcal{E}-Ir$ и закон Ома для участка цепи $U=IR$ при оценке внешнего сопротивления.