ID: 00026568
Источник тока, два резистора и ключ включены в цепь, как показано на рисунке. При разомкнутом ключе на резисторе R _{1} выделяется мощность P_{1} =3 Вт, а на резисторе R _{2} − мощность P_{2} =6 Вт. Какая мощность будет выделяться на резисторе R _{1} после замыкания ключа К? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ключ на этой схеме подключён параллельно резистору R_{2}: замкнёшь его — и ток пойдёт по проводу ключа в обход R_{2}, то есть второй резистор просто выключится из работы. Цепь станет короче, ток вырастет, и на первом резисторе начнёт выделяться заметно больше тепла. Посчитаем сколько.
Шаг 1 — читаем разомкнутое состояние. Резисторы соединены последовательно, поэтому ток через них один и тот же — назовём его I. Тогда P_{1}=I^{2}R_{1} и P_{2}=I^{2}R_{2}. Отношение мощностей сразу даёт отношение сопротивлений: \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, то есть R_{2}=2R_{1}: второй резистор вдвое «толще» по сопротивлению, потому на нём и выделяется вдвое больше.
Шаг 2 — выражаем ЭДС. Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем, значит \mathcal{E}=I\left(R_{1}+R_{2}\right)=I\left(R_{1}+2R_{1}\right)=3IR_{1}.
Шаг 3 — замыкаем ключ. Резистор R_{2} закорочен: сопротивление ветви с ключом равно нулю, весь ток идёт по ключу. В цепи остаётся один R_{1}, и новый ток I'=\frac{\mathcal{E}}{R_{1}}=\frac{3IR_{1}}{R_{1}}=3I.
Шаг 4 — новая мощность на первом резисторе. P_{1}'=I'^{2}R_{1}=\left(3I\right)^{2}R_{1}=9I^{2}R_{1}=9P_{1}=9\cdot3=27\ \text{Вт}.
Полезно взглянуть на это и «через напряжение». До замыкания напряжение делилось между резисторами пропорционально сопротивлениям, и на R_{1} приходилась треть ЭДС. После замыкания вся ЭДС легла на R_{1} — напряжение выросло втрое, а мощность P=\dfrac{U^{2}}{R} зависит от квадрата напряжения, значит выросла в 9 раз. Ответ тот же.
Почему модель именно такая. Замкнутый ключ считается идеальным проводником, поэтому параллельный ему резистор закорочен и тока через него нет — это следствие правила параллельного соединения: при нулевом сопротивлении одной из ветвей весь ток идёт по ней. При последовательном соединении ток через элементы одинаков, а сопротивления складываются. Закон Ома для полной цепи при r=0 даёт \mathcal{E}=IR_{внеш}, а тепловая мощность считается по закону Джоуля — Ленца: P=I^{2}R. Именно поэтому конкретные значения R_{1} и R_{2} находить не нужно — весь ответ держится на их отношении.