ID: 00026568
Источник тока, два резистора и ключ включены в цепь, как показано на рисунке. При разомкнутом ключе на резисторе $R_{1}$ выделяется мощность $P_{1} =3$ Вт, а на резисторе $R_{2}$ − мощность $P_{2} =6$ Вт. Какая мощность будет выделяться на резисторе $R_{1}$ после замыкания ключа К? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ключ на этой схеме подключён параллельно резистору $R_{2}$: замкнёшь его — и ток пойдёт по проводу ключа в обход $R_{2}$, то есть второй резистор просто выключится из работы. Цепь станет короче, ток вырастет, и на первом резисторе начнёт выделяться заметно больше тепла. Посчитаем сколько.
Шаг 1 — читаем разомкнутое состояние. Резисторы соединены последовательно, поэтому ток через них один и тот же — назовём его $I$. Тогда $P_{1}=I^{2}R_{1}$ и $P_{2}=I^{2}R_{2}$. Отношение мощностей сразу даёт отношение сопротивлений: $$\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$ то есть $R_{2}=2R_{1}$: второй резистор вдвое «толще» по сопротивлению, потому на нём и выделяется вдвое больше.
Шаг 2 — выражаем ЭДС. Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем, значит $$\mathcal{E}=I\left(R_{1}+R_{2}\right)=I\left(R_{1}+2R_{1}\right)=3IR_{1}.$$
Шаг 3 — замыкаем ключ. Резистор $R_{2}$ закорочен: сопротивление ветви с ключом равно нулю, весь ток идёт по ключу. В цепи остаётся один $R_{1}$, и новый ток $$I'=\frac{\mathcal{E}}{R_{1}}=\frac{3IR_{1}}{R_{1}}=3I.$$
Шаг 4 — новая мощность на первом резисторе. $$P_{1}'=I'^{2}R_{1}=\left(3I\right)^{2}R_{1}=9I^{2}R_{1}=9P_{1}=9\cdot3=27\ \text{Вт}.$$
Полезно взглянуть на это и «через напряжение». До замыкания напряжение делилось между резисторами пропорционально сопротивлениям, и на $R_{1}$ приходилась треть ЭДС. После замыкания вся ЭДС легла на $R_{1}$ — напряжение выросло втрое, а мощность $P=\dfrac{U^{2}}{R}$ зависит от квадрата напряжения, значит выросла в $9$ раз. Ответ тот же.
Почему модель именно такая. Замкнутый ключ считается идеальным проводником, поэтому параллельный ему резистор закорочен и тока через него нет — это следствие правила параллельного соединения: при нулевом сопротивлении одной из ветвей весь ток идёт по ней. При последовательном соединении ток через элементы одинаков, а сопротивления складываются. Закон Ома для полной цепи при $r=0$ даёт $\mathcal{E}=IR_{внеш}$, а тепловая мощность считается по закону Джоуля — Ленца: $P=I^{2}R$. Именно поэтому конкретные значения $R_{1}$ и $R_{2}$ находить не нужно — весь ответ держится на их отношении.