ID: 00019456
Рамка площадью $S = 1$ см$^2$, содержащая $N = 200$ витков провода, очень быстро пролетает между полюсами электромагнита, создающего индукцию магнитного поля $B = 1{,}5$ Тл. Линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рамки. Концы провода присоединены к электрической цепи, в которой последовательно соединены идеальный диод, пропускающий ток только в одном направлении, резистор сопротивлением $R = 10$ кОм и конденсатор ёмкостью $C = 10$ мкФ. До какого напряжения в результате зарядится конденсатор?
Источник: ФИПИ
Рамка проскакивает между полюсами магнита, и в ней дважды вспыхивает ЭДС индукции: когда влетает (поток нарастает) и когда вылетает (поток спадает). Но в цепи стоит диод — «клапан», пропускающий ток только в одну сторону. Поэтому конденсатор заряжается лишь за одну вспышку, а обратно разрядиться не может. Фокус задачи — слова «очень быстро»: за краткий миг весь «толчок» индукции уходит на проталкивание заряда через резистор, а напряжение на конденсаторе за это время практически не успевает повлиять на результат.
При пролёте поток сквозь рамку меняется от 0 до $NBS$. По закону Фарадея ЭДС $\varepsilon = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$, а её «накопленное» действие за время пролёта — это полное изменение потокосцепления:
$\displaystyle\int \varepsilon\,dt = NBS$.
В каждый момент $\varepsilon = iR + U_C$, где $U_C = \dfrac{q}{C}$ — напряжение на конденсаторе. Проинтегрируем по времени пролёта:
$\displaystyle\int\varepsilon\,dt = R\!\int i\,dt + \int U_C\,dt = Rq + \int U_C\,dt$.
Раз пролёт «очень быстрый», слагаемое $\int U_C\,dt$ ничтожно мало (напряжение ограничено, а время крошечное). Остаётся $NBS = Rq$, где $q = CU$ — заряд, набранный конденсатором.
$NBS = R\,C\,U\ \Rightarrow\ U = \dfrac{NBS}{RC}$,
$U = \dfrac{200\cdot1{,}5\cdot1\cdot10^{-4}}{10^{4}\cdot10\cdot10^{-6}} = \dfrac{0{,}03}{0{,}1} = 0{,}3$ В.
Диод не даёт конденсатору разрядиться при вылете рамки, поэтому это напряжение на нём и остаётся.
U = 0,3 В