Закон Всемирного… — Задание 2 ЕГЭ по физике №00018926

Идея

Два «паспорта» планеты — ускорение $g$ у поверхности и вторая космическая скорость $v_2$ — оба зависят от массы планеты $M$ и её радиуса $R$, но по-разному. Если разделить одно на другое хитро, масса исчезнет, и останется чистое отношение радиусов. Это как имея два уравнения с двумя неизвестными, поделить их, чтобы убрать лишнее.

Считаем

Формулы: $g = \dfrac{GM}{R^2}$ и $v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$, откуда $v_2^2 = \dfrac{2GM}{R}$.

Поделим квадрат скорости на ускорение — масса сократится:

$\dfrac{v_2^2}{g} = \dfrac{2GM/R}{GM/R^2} = 2R$.

Значит $R \sim \dfrac{v_2^2}{g}$, и отношение радиусов:

$\dfrac{R_З}{R_М} = \dfrac{v_{2,З}^2 / g_З}{v_{2,М}^2 / g_М} = \dfrac{(v_{2,З}/v_{2,М})^2}{g_З/g_М} = \dfrac{2{,}24^2}{2{,}65} = \dfrac{5{,}0176}{2{,}65} \approx 1{,}89$.

Округляем до целого:

Ответ: $2$.