Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017614

Дано

$r = 10$ см $= 0,1$ м — радиус маленькой шестерни;
$N = 50$ оборотов за $t = 10$ с — отсюда её частота $\nu_1 = N/t = 50/10 = 5$ с$^{-1}$;
$\nu_2 = 2$ с$^{-1}$ — частота большой шестерни.
Найти: $R = ?$

Идея

Главное, что нужно понять: шестерни сцеплены зубцами. Значит, в точке, где зубья цепляются друг за друга, край одной шестерни и край другой движутся вместе — с одной и той же линейной скоростью. Если бы это было не так, зубья бы проскальзывали или ломались. Поэтому линейная скорость на ободе у обеих шестерён одинаковая: $v_1 = v_2$. А вот вращаются они с разной частотой: большая медленнее, маленькая быстрее.

Линейная скорость точки на ободе связана с радиусом и частотой формулой $v = 2\pi R \nu$ (за один оборот точка проходит длину окружности $2\pi R$, а за секунду делает $\nu$ оборотов).

Приравниваем линейные скорости ободов:

$$2\pi r \nu_1 = 2\pi R \nu_2.$$

Множитель $2\pi$ сокращается, выражаем радиус большой шестерни:

$$R = r\,\frac{\nu_1}{\nu_2}.$$

Подставляем числа (частоту маленькой сначала находим: $\nu_1 = 50/10 = 5$ с$^{-1}$):

$$R = 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \text{ см}.$$