ID: 00017595
На графике приведена зависимость КПД $\eta$ идеальной тепловой машины от температуры $T_\text{х}$ её холодильника. Чему равна температура нагревателя этой тепловой машины? Ответ приведите в кельвинах.
Источник: ФИПИ
График $\eta(T_\text{х})$ — прямая линия. С неё снимаем удобную точку, например: при $T_\text{х}=750$ К КПД $\eta=0{,}5$.
Найти: температуру нагревателя $T_\text{н}$.
«Идеальная тепловая машина» — это машина Карно, у которой КПД максимально возможный и зависит только от двух температур: горячего нагревателя и холодного холодильника. По формуле Карно, чем холоднее холодильник, тем выше КПД. А если холодильник нагреть до температуры нагревателя, «перепада» не останется и КПД станет нулём. Поэтому график $\eta(T_\text{х})$ — это прямая, спадающая слева направо, которая пересекает ось температур (где $\eta=0$) ровно в точке $T_\text{х}=T_\text{н}$. Значит, температуру нагревателя можно либо прочитать как эту точку пересечения, либо вычислить по формуле, подставив любую одну точку с графика.
Для идеальной (обратимой) тепловой машины
$$\eta=1-\frac{T_\text{х}}{T_\text{н}},$$
где обе температуры абсолютные (в кельвинах). При $T_\text{х}=T_\text{н}$ получаем $\eta=0$, при уменьшении $T_\text{х}$ КПД растёт к единице.
$$\frac{T_\text{х}}{T_\text{н}}=1-\eta\;\Rightarrow\; T_\text{н}=\frac{T_\text{х}}{1-\eta}.$$
Берём $T_\text{х}=750$ К, $\eta=0{,}5$:
$$T_\text{н}=\frac{750}{1-0{,}5}=\frac{750}{0{,}5}=1500\ \text{К}.$$
Проверка по графику: прямая упирается в горизонтальную ось ($\eta=0$) при $T_\text{х}=1500$ К — это и есть температура нагревателя.
$T_{\text{н}} = 1500$ К