ID: 00017580
22 октября 2022 г. с космодрома «Восточный» ракетой из семейства «Союз» были запущены три спутника связи «Гонец-М» и первый спутник «Скиф-Д» из проекта «Сфера» по обеспечению доступа к широкополосному интернету на всей территории России. Этот спутник вышел на круговую орбиту высотой $h = 8170$ км над поверхностью Земли с полярным наклоном $90^\circ$ (плоскость такой орбиты проходит через оба географических полюса Земли), и через некоторое время пролетел с юга на север над центром города Пермь. Через сколько времени он снова окажется над Пермью, двигаясь в том же направлении с юга на север? Радиус Земли $R_\text{з} = 6370$ км.
Источник: ФИПИ
$h = 8170$ км — высота круговой орбиты над Землёй;
$R_\text{з} = 6370$ км — радиус Земли;
полярная орбита, наклон $90^\circ$;
$g_0 = 9{,}8$ м/с$^2$.
Найти: $t$ — время до возврата спутника над Пермью.
Та же картинка: глобус крутится, спутник бегает по кольцу через полюса. Пермь снова окажется точно под восходящей (с юга на север) ветвью орбиты только тогда, когда Земля провернётся на целое число полных оборотов. Сначала найдём период спутника, увидим, что в сутки укладывается ровно $5$ витков, и поймём, что нужный момент — это ровно одни земные сутки.
1. Период спутника. Сила тяготения создаёт центростремительное ускорение (второй закон Ньютона по окружности). Заменяя $GM=g_0R_\text{з}^2$ (на поверхности $g_0=GM/R_\text{з}^2$):
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{g_0 R_\text{з}^2}}, \qquad r = R_\text{з} + h = 14540\ \text{км}.$$
$$T \approx 1{,}745\cdot 10^{4}\ \text{с} \approx 4{,}85\ \text{ч}.$$
2. Когда вернётся над Пермью. За один виток спутник возвращается к той же широте, но Пермь уехала на восток. Совпадение случится, когда целое число витков спутника $N$ совпадёт с целым числом оборотов Земли. Делим сутки на период: $\dfrac{24\ \text{ч}}{4{,}85\ \text{ч}} \approx 4{,}95 \approx 5$ — ровно $5$ витков на одни сутки. Значит наименьший момент совпадения — это
$$t = 5\,T \approx 5\cdot 4{,}85\ \text{ч} \approx 24\ \text{ч} = T_\text{з}.$$
То есть Пермь снова окажется под спутником, летящим с юга на север, ровно через одни сутки.
$t \approx 24$ ч (одни сутки)