Дано

h = 8170 км — высота круговой орбиты над Землёй;
R_\text{з} = 6370 км — радиус Земли;
полярная орбита, наклон 90^\circ;
g_0 = 9{,}8 м/с^2.
Найти: t — время до возврата спутника над Пермью.

Идея

Та же картинка: глобус крутится, спутник бегает по кольцу через полюса. Пермь снова окажется точно под восходящей (с юга на север) ветвью орбиты только тогда, когда Земля провернётся на целое число полных оборотов. Сначала найдём период спутника, увидим, что в сутки укладывается ровно 5 витков, и поймём, что нужный момент — это ровно одни земные сутки.

1. Период спутника. Сила тяготения создаёт центростремительное ускорение (второй закон Ньютона по окружности). Заменяя GM=g_0R_\text{з}^2 (на поверхности g_0=GM/R_\text{з}^2):

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{g_0 R_\text{з}^2}}, \qquad r = R_\text{з} + h = 14540\ \text{км}.

T \approx 1{,}745\cdot 10^{4}\ \text{с} \approx 4{,}85\ \text{ч}.

2. Когда вернётся над Пермью. За один виток спутник возвращается к той же широте, но Пермь уехала на восток. Совпадение случится, когда целое число витков спутника N совпадёт с целым числом оборотов Земли. Делим сутки на период: \dfrac{24\ \text{ч}}{4{,}85\ \text{ч}} \approx 4{,}95 \approx 5 — ровно 5 витков на одни сутки. Значит наименьший момент совпадения — это

t = 5\,T \approx 5\cdot 4{,}85\ \text{ч} \approx 24\ \text{ч} = T_\text{з}.

То есть Пермь снова окажется под спутником, летящим с юга на север, ровно через одни сутки.

Ответ: через 24 часа (одни сутки).