МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00017553

Дано

$T_2 = \dfrac{T_1}{2}$ (температура упала вдвое). Из рисунка процесс идёт по вертикали при одном и том же объёме $V$ (сосуд жёсткий, $V_1=V_2$, на графике $V=0{,}4\ \text{м}^3$), давление падает от $p_1 = 6\cdot10^{3}\ \text{Па}$ (точка 1) до $p_2 = 2\cdot10^{3}\ \text{Па}$ (точка 2).

Найти: $\dfrac{N_2}{N_1}$.

Идея

Подвох в условии: кран неплотный, значит число молекул НЕ сохраняется — часть воздуха могла уйти или войти. Поэтому привычное «масса постоянна» здесь не работает, и нужно считать число молекул напрямую.

Свяжем давление с числом молекул через уравнение $p = n k T$, где $n=\dfrac{N}{V}$ — концентрация. Тогда $p=\dfrac{N}{V}kT$, откуда

$$N=\dfrac{pV}{kT}.$$

Берём отношение для двух состояний. Объём один и тот же ($V_1=V_2$), он сократится:

$$\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{p_2 V/(kT_2)}{p_1 V/(kT_1)}=\dfrac{p_2}{p_1}\cdot\dfrac{T_1}{T_2}.$$

Подставляем $p_2/p_1 = 2/6 = 1/3$ и $T_1/T_2 = 2$ (раз температура упала в 2 раза):

$$\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}7.$$