Задание 22 ЕГЭ по физике №00017551

Дано

$M=0{,}8$ кг — масса доски;
$m=0{,}2$ кг — масса шарика;
$v=10$ м/с — скорость шарика перед ударом;
$\alpha=60^\circ$ — угол между скоростью и нормалью к доске;
$g=10\ \text{м/с}^2$.

Найти: $h$ — ?

Решение

Задача в два этапа: сначала быстрый удар (шарик прилип), потом плавный подъём слипшейся доски, как маятника. Эти этапы считаем разными законами.

Этап 1. Удар — закон сохранения импульса. Удар очень короткий, поэтому в момент удара важна проекция импульса на направление, в котором доска может свободно двигаться, — вдоль нормали к доске (доска подвешена и в этот миг качнётся именно "от себя", перпендикулярно своей плоскости). Стержень в продольном направлении удерживает доску, поэтому работает именно нормальная составляющая.

Скорость шарика направлена под углом $\alpha$ к нормали, значит вдоль нормали летит составляющая $v\cos\alpha$. Запишем сохранение импульса по нормали (шарик массой $m$ прилипает к доске массой $M$, дальше движутся вместе со скоростью $u$):

$$m\,v\cos\alpha=(M+m)\,u \;\Rightarrow\; u=\frac{m\,v\cos\alpha}{M+m}.$$

Считаем:

$$u=\frac{0{,}2\cdot 10\cdot\cos 60^\circ}{0{,}8+0{,}2}=\frac{0{,}2\cdot 10\cdot 0{,}5}{1{,}0}=\frac{1}{1}=1\ \text{м/с}.$$

Этап 2. Подъём — закон сохранения энергии. Сразу после удара слипшаяся система массой $(M+m)$ имеет скорость $u$ и начинает подниматься как маятник. Трения нет, поэтому кинетическая энергия целиком переходит в потенциальную:

$$\frac{(M+m)\,u^2}{2}=(M+m)\,g\,h \;\Rightarrow\; h=\frac{u^2}{2g}.$$

Масса сократилась — высота от неё не зависит. Подставим:

$$h=\frac{1^2}{2\cdot 10}=\frac{1}{20}=0{,}05\ \text{м}.$$

Почему нельзя "сохранять энергию" на ударе. Удар неупругий (пластилин прилип), часть энергии уходит в тепло и деформацию, поэтому на ударе работает только импульс, а энергию сохраняем уже после удара, на подъёме.