Дано

M=0{,}8 кг — масса доски;
m=0{,}2 кг — масса шарика;
v=10 м/с — скорость шарика перед ударом;
\alpha=60^\circ — угол между скоростью и нормалью к доске;
g=10\ \text{м/с}^2.

Найти: h — ?

Решение

Задача в два этапа: сначала быстрый удар (шарик прилип), потом плавный подъём слипшейся доски, как маятника. Эти этапы считаем разными законами.

Этап 1. Удар — закон сохранения импульса. Удар очень короткий, поэтому в момент удара важна проекция импульса на направление, в котором доска может свободно двигаться, — вдоль нормали к доске (доска подвешена и в этот миг качнётся именно "от себя", перпендикулярно своей плоскости). Стержень в продольном направлении удерживает доску, поэтому работает именно нормальная составляющая.

Скорость шарика направлена под углом \alpha к нормали, значит вдоль нормали летит составляющая v\cos\alpha. Запишем сохранение импульса по нормали (шарик массой m прилипает к доске массой M, дальше движутся вместе со скоростью u):

m\,v\cos\alpha=(M+m)\,u \;\Rightarrow\; u=\frac{m\,v\cos\alpha}{M+m}.

Считаем:

u=\frac{0{,}2\cdot 10\cdot\cos 60^\circ}{0{,}8+0{,}2}=\frac{0{,}2\cdot 10\cdot 0{,}5}{1{,}0}=\frac{1}{1}=1\ \text{м/с}.

Этап 2. Подъём — закон сохранения энергии. Сразу после удара слипшаяся система массой (M+m) имеет скорость u и начинает подниматься как маятник. Трения нет, поэтому кинетическая энергия целиком переходит в потенциальную:

\frac{(M+m)\,u^2}{2}=(M+m)\,g\,h \;\Rightarrow\; h=\frac{u^2}{2g}.

Масса сократилась — высота от неё не зависит. Подставим:

h=\frac{1^2}{2\cdot 10}=\frac{1}{20}=0{,}05\ \text{м}.

Почему нельзя "сохранять энергию" на ударе. Удар неупругий (пластилин прилип), часть энергии уходит в тепло и деформацию, поэтому на ударе работает только импульс, а энергию сохраняем уже после удара, на подъёме.

Ответ: h=0{,}05 м =5 см.