ID: 00017523
Нить, удерживающая лёгкую пружину в сжатом состоянии, внезапно оборвалась (см. рисунок). На сколько сантиметров была сжата пружина жёсткостью 20 кН/м, если она сообщила бруску массой 20 г максимальную скорость 10 м/с? Трением бруска о поверхность и массой пружины пренебречь.
Источник: ФИПИ
$k = 20$ кН/м $= 20000$ Н/м
$m = 20$ г $= 0{,}02$ кг
$v = 10$ м/с
Найти: $x$ — сжатие пружины.
Смотрим на рисунок: сжатая пружина упирается в брусок и в стенку, нить держит её взведённой, как затвор. Нить лопнула — пружина распрямляется и подталкивает брусок. Пока пружина ещё хоть чуть-чуть сжата, она давит на брусок и разгоняет его. В тот момент, когда пружина полностью распрямилась, давить больше нечем — вот здесь скорость и максимальна. Дальше брусок просто катится без трения с этой же скоростью.
Значит, вся энергия, запасённая в сжатой пружине, без потерь (трения нет, пружина лёгкая) превращается в кинетическую энергию бруска. Это закон сохранения энергии.
Энергия сжатой пружины: $E_{упр} = \dfrac{k x^2}{2}$.
Кинетическая энергия бруска в момент отрыва от пружины: $E_к = \dfrac{m v^2}{2}$.
Приравниваем — вся упругая энергия ушла в движение:
$\dfrac{k x^2}{2} = \dfrac{m v^2}{2}$
Сокращаем двойки и выражаем сжатие:
$x = v \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
Подставляем числа:
$x = 10 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}02}{20000}} = 10 \cdot \sqrt{10^{-6}} = 10 \cdot 0{,}001 = 0{,}01$ м $= 1$ см.
1 см