ID: 00017516
На наклонной плоскости соскальзывает шайба. Зафиксированы её положения через равные интервалы времени ($1$ секунда): $0{,}3$ м, $1{,}2$ м и $2{,}7$ м. Докажите, что шайба движется равноускоренно, и найдите это ускорение.
Источник: ФИПИ
Интервал времени $\tau=1$ с. Координаты (пройденный путь от старта) через каждую секунду: $s_1=0{,}3$ м, $s_2=1{,}2$ м, $s_3=2{,}7$ м. Доказать равноускоренность и найти $a$.
«Равноускоренно» значит, что за каждую следующую одинаковую секунду тело проходит на одну и ту же добавку больше, чем за предыдущую (как ступеньки, растущие на одинаковую высоту). Это и есть признак Галилея: перемещения за равные интервалы образуют арифметическую прогрессию с постоянной разностью. Эту постоянную разность напрямую связывает с ускорением формула $\Delta = a\tau^2$.
Шайба соскальзывает по наклонной плоскости вдоль оси $x$ (направлена вниз вдоль склона). Засечки сделаны через равные промежутки времени $1$ с; числа — это положения шайбы (путь от начальной точки).
Найдём перемещения за каждую отдельную секунду (разности соседних положений):
$\Delta s_1 = s_1 - 0 = 0{,}3$ м (за 1-ю секунду);
$\Delta s_2 = s_2 - s_1 = 1{,}2 - 0{,}3 = 0{,}9$ м (за 2-ю секунду);
$\Delta s_3 = s_3 - s_2 = 2{,}7 - 1{,}2 = 1{,}5$ м (за 3-ю секунду).
Сравним, насколько каждая секунда «прибавляет» относительно предыдущей: $\Delta s_2-\Delta s_1 = 0{,}9-0{,}3 = 0{,}6$ м и $\Delta s_3-\Delta s_2 = 1{,}5-0{,}9 = 0{,}6$ м. Эти добавки одинаковы $(0{,}6$ м$)$ — значит ускорение постоянно, движение равноускоренное.
Для равноускоренного движения разность перемещений за соседние равные интервалы равна $a\tau^2$ (постоянная величина). Отсюда:
$$a = \frac{\Delta s_2 - \Delta s_1}{\tau^2} = \frac{0{,}6}{1^2} = 0{,}6 \text{ м/с}^2.$$
(Проверка: ряд $0{,}3:1{,}2:2{,}7 = 1:4:9$ — это движение из состояния покоя, $s=\tfrac{1}{2}a t^2$; тогда $\tfrac{1}{2}a\cdot1^2=0{,}3\Rightarrow a=0{,}6$ м/с² — совпадает.)