Динамика

Задание №22. Рассчетная Задача. Механика

№2. Задание 22

ID: 00017482

Скоростной электропоезд «Сапсан» ехал по прямому горизонтальному пути со скоростью $\upsilon = 180$ км/ч. Пассажир поезда повесил перед собой отвес и стал следить за его поведением. В некоторый момент поезд начал тормозить с постоянным ускорением, чтобы остановиться в Твери. При этом отвес в начале торможения отклонился на максимальный угол $\alpha = 5{,}7^\circ$ , а дальше колебался с медленно уменьшающейся амплитудой вплоть до остановки поезда. На каком расстоянии $$L$$ от вокзала в Твери «Сапсан» начал торможение?

Источник: ФИПИ

Решение

Дано

$\upsilon=180$ км/ч $$=50$$ м/с; максимальный угол отклонения отвеса $\alpha=5{,}7^\circ$ ; $$g=10$$ м/с $$^2$$ . Найти путь торможения $$L$$ .

Идея

При равномерном торможении в вагоне на груз действует «эффективная тяжесть»: настоящая тяжесть вниз плюс сила инерции вперёд. Новое положение равновесия отвеса наклонено вперёд на угол $\beta$ , причём $\tan\beta=a/g$ . Но в первый момент отвес ещё висит вертикально — это уже не равновесие, поэтому он начинает качаться вокруг наклонного равновесия. Самое дальнее отклонение получается вдвое больше равновесного: $\alpha_{\max}=2\beta$ (груз «перелетает» равновесие на столько же, на сколько был от него вначале).

Ускорение из угла

$\beta=\frac{\alpha}{2}=2{,}85^\circ,\qquad a=g\tan\beta=10\cdot\tan 2{,}85^\circ\approx 0{,}5\ \text{м/с}^2.$

Путь торможения

Равнозамедленное движение до полной остановки: $\upsilon^2=2aL$ , поэтому $L=\frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{50^2}{2\cdot 0{,}5}=2500\ \text{м}=2{,}5\ \text{км}.$

Ключевой момент — множитель 2: максимальный угол маятника, выведенного толчком из равновесия, вдвое больше угла самого равновесия. Если про него забыть, ответ занижается вдвое.

Ответ

L ≈ 2,5 км — поезд начал торможение примерно за 2,5 км до вокзала.

Другие задания по теме «Динамика» (8)