ID: 00017179
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1=C$, $C_2=2C$, $C_3=3C$ и $C_4=4C$ подключена к источнику постоянного напряжения с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). На сколько и как изменится общая энергия, запасённая в батарее, если в конденсаторе $C_2$ возникнет пробой?
Источник: Сборник Гиголо
Пробой конденсатора — это превращение его в обычный проводок (короткое замыкание). Посчитаем общую энергию батареи до пробоя и после, разница и будет ответом. Тока нет, поэтому на батарею всегда приходится полное $\varepsilon$.
По схеме $C_1\!\parallel\!C_3$ и $C_2\!\parallel\!C_4$, пары последовательно. $C_{13}=C_1+C_3=C+3C=4C$; $C_{24}=C_2+C_4=2C+4C=6C$. Общая ёмкость $C_{общ}=\dfrac{4C\cdot 6C}{10C}=2{,}4C$. Энергия $W_{нач}=\dfrac{C_{общ}\varepsilon^2}{2}=\dfrac{2{,}4C\varepsilon^2}{2}=1{,}2\,C\varepsilon^2$.
Пробой $C_2$ закорачивает всю пару $C_{24}$ (она становится проводником). Тогда всё напряжение $\varepsilon$ оказывается на паре $C_{13}$, и общая ёмкость батареи $C_{общ}'=C_{13}=4C$. Энергия $W_{кон}=\dfrac{4C\varepsilon^2}{2}=2\,C\varepsilon^2$.
$\Delta W=W_{кон}-W_{нач}=2C\varepsilon^2-1{,}2C\varepsilon^2=0{,}8\,C\varepsilon^2\gt 0$ — энергия увеличилась.
Энергия увеличится на ΔW = 0,8·C·ε² (= 4Cε²/5)