По гладкой горизонтальной направляющей длины 2l скользит бусинка с положительным зарядом Q0 и массой m. На концах направляющей закреплены положительные заряды q0 (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен T. Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд увеличить в 2 раза?

Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00017141

Задание №25. Электродинамика. Высокий Уровень Сложности

Электростатика

№2. Задание 25

ID: 00017141

По гладкой горизонтальной направляющей длины $$2l$$ скользит бусинка с положительным зарядом $Q \gt 0$ и массой $$m$$ . На концах направляющей закреплены положительные заряды $q \gt 0$ (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен $$T$$ . Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд увеличить в 2 раза?

Рисунок к заданию 25 ЕГЭ по физике — Электростатика

Источник: Сборник Гиголо

Решение

Идея

Бусинка посередине находится в равновесии: два одинаковых заряда на концах отталкивают её одинаково. Стоит ей чуть сдвинуться — ближний заряд отталкивает сильнее и гонит обратно. Покажем, что при малом смещении возвращающая сила пропорциональна смещению (значит, колебания гармонические), и посмотрим, как период зависит от заряда бусинки.

Шаг 1. Возвращающая сила

При смещении на $$x$$ от центра сила со стороны двух зарядов по закону Кулона: $F=kQq\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right)$ . Для малых $$x$$ это даёт $F\approx-\dfrac{4kQq}{l^3}x$ — линейная возвращающая сила.

Шаг 2. Период и зависимость от заряда

Тогда $\omega^2=\dfrac{4kQq}{m l^3}$ , а период $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4kQq}}$ . Видно, что $T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}$ . Если заряд бусинки увеличить вдвое ( $Q\to2Q$ ), возвращающая сила вырастет, и период уменьшится в $\sqrt{2}$ раз: $T_1=\dfrac{T}{\sqrt{2}}\approx0,71\,T$ .

Ответ

T₁ = T/√2 ≈ 0,71·T

Видеоразбор

Другие задания по теме «Электростатика» (8)