ID: 00017141
По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка с положительным зарядом $Q \gt 0$ и массой $m$. На концах направляющей закреплены положительные заряды $q \gt 0$ (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен $T$. Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд увеличить в 2 раза?
Источник: Сборник Гиголо
Бусинка посередине находится в равновесии: два одинаковых заряда на концах отталкивают её одинаково. Стоит ей чуть сдвинуться — ближний заряд отталкивает сильнее и гонит обратно. Покажем, что при малом смещении возвращающая сила пропорциональна смещению (значит, колебания гармонические), и посмотрим, как период зависит от заряда бусинки.
При смещении на $x$ от центра сила со стороны двух зарядов по закону Кулона: $F=kQq\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right)$. Для малых $x$ это даёт $F\approx-\dfrac{4kQq}{l^3}x$ — линейная возвращающая сила.
Тогда $\omega^2=\dfrac{4kQq}{m l^3}$, а период $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4kQq}}$. Видно, что $T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}$. Если заряд бусинки увеличить вдвое ($Q\to2Q$), возвращающая сила вырастет, и период уменьшится в $\sqrt{2}$ раз: $T_1=\dfrac{T}{\sqrt{2}}\approx0,71\,T$.
T₁ = T/√2 ≈ 0,71·T