ID: 00017139
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q = 5$ нКл, подвешенный к потолку на лёгкой шёлковой нити длиной $l = 1$ м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле $E$ с модулем напряжённости $E = 300$ кВ/м (см. рисунок). Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна (на рисунке показано пунктиром). В момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^\circ$, модуль скорости шарика $v = 0,9$ м/с. Чему равна масса шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Шарик отпустили из вертикали, и горизонтальное поле раскачивает его в сторону. Применим теорему об изменении кинетической энергии. Работают две силы: поле (двигает по горизонтали и разгоняет — работа положительная) и тяжесть (шарик при этом поднимается — работа отрицательная). Натяжение нити работы не совершает: оно всегда перпендикулярно движению. Из энергетического баланса выразим массу.
При отклонении на угол $\alpha$ шарик смещается по горизонтали на $b=l\sin\alpha$ и поднимается на $h=l(1-\cos\alpha)$.
$\dfrac{mv^2}{2}=qE\cdot l\sin\alpha-mg\cdot l(1-\cos\alpha)$. Соберём $m$: $m\left[\dfrac{v^2}{2}+gl(1-\cos\alpha)\right]=qEl\sin\alpha$, откуда $m=\dfrac{qEl\sin\alpha}{\dfrac{v^2}{2}+gl(1-\cos\alpha)}$.
$qEl\sin30^\circ=5\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^{5}\cdot1\cdot0,5=7,5\cdot10^{-4}$. Знаменатель: $\dfrac{0,9^2}{2}+10\cdot1\cdot(1-0,866)=0,405+1,34=1,745$. Тогда $m=\dfrac{7,5\cdot10^{-4}}{1,745}\approx4,3\cdot10^{-4}$ кг.
m ≈ 4,3·10⁻⁴ кг (≈ 0,43 г)