Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00017003

Дано:

направляющая длиной $2l$; бусинка — заряд $Q\gt 0$, масса $m$, посередине; на концах закреплены заряды $q\gt 0$; период малых колебаний $T$; заряд бусинки уменьшают вдвое: $Q\to \dfrac{Q}{2}$.

Найти:

$T'$ — новый период колебаний.

Решение:

Представь бусинку как шарик, зажатый между двумя одинаковыми пружинками: оба заряда $q$ отталкивают её. В середине толчки слева и справа равны и гасят друг друга — это положение равновесия. Стоит сдвинуть бусинку, как ближний заряд начинает отталкивать сильнее дальнего и гонит её обратно. Чем сильнее «пружинки», тем быстрее колебания.

Сдвинем бусинку на малое $x$ от центра. Тогда до одного заряда расстояние станет $(l-x)$, до другого — $(l+x)$. По закону Кулона силы вдоль рейки:

$$F_{\text{бл}}=\frac{kQq}{(l-x)^2},\qquad F_{\text{дал}}=\frac{kQq}{(l+x)^2}.$$

Возвращающая (равнодействующая) сила направлена к центру:

$$F=-kQq\left[\frac{1}{(l-x)^2}-\frac{1}{(l+x)^2}\right].$$

Для малых $x$ ($x\ll l$) разложим: $\dfrac{1}{(l\mp x)^2}\approx\dfrac{1}{l^2}\left(1\pm\dfrac{2x}{l}\right)$. Разность даёт

$$F\approx-kQq\cdot\frac{4x}{l^3}=-\frac{4kQq}{l^3}\,x.$$

Сила пропорциональна смещению и направлена против него ($F=-k_{\text{эф}}x$) — это гармонические колебания с жёсткостью $k_{\text{эф}}=\dfrac{4kQq}{l^3}$. По второму закону Ньютона период такой системы

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эф}}}}=2\pi\sqrt{\frac{m\,l^3}{4kQq}}.$$

Видно главное: $T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}$. Жёсткость «пружинок» прямо зависит от заряда бусинки. Уменьшим $Q$ вдвое — жёсткость $k_{\text{эф}}$ упадёт вдвое, и бусинка станет «вялее»:

$$\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{k_{\text{эф}}}{k_{\text{эф}}'}}=\sqrt{\frac{Q}{Q/2}}=\sqrt{2}.$$

Итог: $T'=T\sqrt{2}\approx1{,}41\,T$. Слабее заряд — слабее отталкивание — колебания замедляются, период растёт в $\sqrt{2}$ раз.