Дано:

направляющая длиной 2l; бусинка — заряд Q\gt 0, масса m, посередине; на концах закреплены заряды q\gt 0; период малых колебаний T; заряд бусинки уменьшают вдвое: Q\to \dfrac{Q}{2}.

Найти:

T' — новый период колебаний.

Решение:

Представь бусинку как шарик, зажатый между двумя одинаковыми пружинками: оба заряда q отталкивают её. В середине толчки слева и справа равны и гасят друг друга — это положение равновесия. Стоит сдвинуть бусинку, как ближний заряд начинает отталкивать сильнее дальнего и гонит её обратно. Чем сильнее «пружинки», тем быстрее колебания.

Сдвинем бусинку на малое x от центра. Тогда до одного заряда расстояние станет (l-x), до другого — (l+x). По закону Кулона силы вдоль рейки:

F_{\text{бл}}=\frac{kQq}{(l-x)^2},\qquad F_{\text{дал}}=\frac{kQq}{(l+x)^2}.

Возвращающая (равнодействующая) сила направлена к центру:

F=-kQq\left[\frac{1}{(l-x)^2}-\frac{1}{(l+x)^2}\right].

Для малых x (x\ll l) разложим: \dfrac{1}{(l\mp x)^2}\approx\dfrac{1}{l^2}\left(1\pm\dfrac{2x}{l}\right). Разность даёт

F\approx-kQq\cdot\frac{4x}{l^3}=-\frac{4kQq}{l^3}\,x.

Сила пропорциональна смещению и направлена против него (F=-k_{\text{эф}}x) — это гармонические колебания с жёсткостью k_{\text{эф}}=\dfrac{4kQq}{l^3}. По второму закону Ньютона период такой системы

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эф}}}}=2\pi\sqrt{\frac{m\,l^3}{4kQq}}.

Видно главное: T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}. Жёсткость «пружинок» прямо зависит от заряда бусинки. Уменьшим Q вдвое — жёсткость k_{\text{эф}} упадёт вдвое, и бусинка станет «вялее»:

\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{k_{\text{эф}}}{k_{\text{эф}}'}}=\sqrt{\frac{Q}{Q/2}}=\sqrt{2}.

Итог: T'=T\sqrt{2}\approx1{,}41\,T. Слабее заряд — слабее отталкивание — колебания замедляются, период растёт в \sqrt{2} раз.