Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00017002

Дано:

Направляющая длиной $2l$; по краям заряды $q\gt 0$; бусинка $Q\gt 0$, масса $m$, в центре (по $l$ до каждого заряда); период малых колебаний $T$. Заряд бусинки увеличивают: $Q'=2Q$.

Найти:

$T'$ — новый период колебаний.

Решение:

Бусинку посередине держат два одинаковых заряда, как пружинки с двух сторон: чуть сдвинул — ближний заряд отталкивает сильнее, дальний слабее, и бусинку возвращает назад. Это и есть «возвращающая сила» — значит, колебания такие же, как у груза на пружине, и работает формула $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$, где $k$ — жёсткость этой «электрической пружины».

Сдвинем бусинку на малое $x$ к правому концу. Тогда до правого заряда расстояние $l-x$, до левого — $l+x$. По закону Кулона силы вдоль направляющей (правый толкает влево, левый — вправо):

$$F=\dfrac{kqQ}{(l+x)^2}-\dfrac{kqQ}{(l-x)^2}.$$

Для малых $x\ll l$ раскладываем $\dfrac{1}{(l\pm x)^2}\approx \dfrac{1}{l^2}\Big(1\mp\dfrac{2x}{l}\Big)$ и получаем линейную возвращающую силу:

$$F\approx -\dfrac{4kqQ}{l^3}\,x.$$

Значит, эффективная жёсткость $k_{\text{эф}}=\dfrac{4kqQ}{l^3}$, а период

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\text{эф}}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m\,l^3}{4kqQ}}.$$

Видно, что $T\propto \dfrac{1}{\sqrt{Q}}$: чем больше заряд бусинки, тем сильнее её отталкивает, тем «жёстче пружина» и короче период. Увеличим заряд вдвое, $Q'=2Q$ — жёсткость вырастет в $2$ раза, а период уменьшится в $\sqrt{2}$ раз:

$$\dfrac{T'}{T}=\sqrt{\dfrac{Q}{Q'}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\; T'=\dfrac{T}{\sqrt{2}}=\dfrac{T\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71\,T.$$

Итак, после удвоения заряда бусинка колеблется быстрее: период становится примерно $0{,}71$ от прежнего.