ID: 00016996
Два шарика с зарядами $Q = -1$ нКл и $q = 5$ нКл находятся в горизонтальном однородном электрическом поле с напряжённостью, равной $E = 18$ В/м (поле направлено от шарика $Q$ к шарику $q$). Масса шарика с зарядом $q$ равна $M = 10$ г, масса шарика с зарядом $Q$ равна $m = 5$ г. Определите расстояние между шариками, если их ускорения равны по модулю и направлению. Сделайте рисунок с указанием всех сил.
Источник: ФИПИ
$Q = -1$ нКл $= -1\cdot10^{-9}$ Кл; $\;q = 5$ нКл $= 5\cdot10^{-9}$ Кл; $\;E = 18$ В/м; $\;M = 10$ г $= 0{,}01$ кг (заряд $q$); $\;m = 5$ г $= 0{,}005$ кг (заряд $Q$); $\;k = 9\cdot10^{9}$ Н·м$^2$/Кл$^2$
$r$ — расстояние между шариками
Представь двух человек на роликах, между которыми натянута пружина-резинка, и вдобавок их обоих подталкивает ветер. Чтобы ехать «строем» — с одинаковым ускорением, в одну сторону, — резинка и ветер должны быть подобраны так, чтобы оба разгонялись одинаково. Резинка тут — притяжение разноимённых зарядов, ветер — однородное поле.
Рисунок (словами): поле $\vec{E}$ направлено вправо. Слева — шарик $Q$ (отрицательный), справа — шарик $q$ (положительный). На $Q$ со стороны поля сила $|Q|E$ направлена влево (заряд отрицательный — против поля). На $q$ со стороны поля сила $qE$ направлена вправо. Заряды разноимённые, поэтому притягиваются: кулоновская сила $F$ тянет $Q$ вправо (к $q$), а $q$ — влево (к $Q$).
Кулоновская сила по модулю одинакова для обоих шариков (третий закон Ньютона):
$$F = \frac{k|Q|q}{r^{2}}.$$
Выберем направление вправо за положительное. Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика.
Шарик $Q$ (масса $m$): поле тянет влево ($-|Q|E$), Кулон — вправо ($+F$):
$$m a = F - |Q|E.$$
Шарик $q$ (масса $M$): поле тянет вправо ($+qE$), Кулон — влево ($-F$):
$$M a = qE - F.$$
Ускорения равны и по модулю, и по направлению — это одно и то же $a$. Разделим первое уравнение на второе, чтобы убрать $a$:
$$\frac{F - |Q|E}{m} = \frac{qE - F}{M}.$$
Подставим $m=0{,}005$ кг и $M=0{,}01$ кг (то есть $M=2m$), умножим крест-накрест:
$$M(F-|Q|E) = m(qE-F) \;\Rightarrow\; 2(F-|Q|E) = qE - F \;\Rightarrow\; 3F = qE + 2|Q|E.$$
Отсюда нужная кулоновская сила:
$$F = \frac{E\,(q + 2|Q|)}{3} = \frac{18\cdot(5\cdot10^{-9} + 2\cdot10^{-9})}{3} = \frac{18\cdot 7\cdot10^{-9}}{3} = 4{,}2\cdot10^{-8}\ \text{Н}.$$
Теперь из закона Кулона находим расстояние:
$$r = \sqrt{\frac{k|Q|q}{F}} = \sqrt{\frac{9\cdot10^{9}\cdot 1\cdot10^{-9}\cdot 5\cdot10^{-9}}{4{,}2\cdot10^{-8}}} = \sqrt{\frac{4{,}5\cdot10^{-8}}{4{,}2\cdot10^{-8}}} \approx \sqrt{1{,}07} \approx 1{,}04\ \text{м}.$$
Получилось примерно $1$ м. На таком расстоянии притяжение между шариками как раз «уравнивает» разные толчки поля, и оба катятся с одинаковым ускорением в одну сторону.
$r \approx 1{,}0$ м (точнее $\approx 1{,}04$ м)