ID: 00016992
Внутри незаряженного металлического шара радиусом $r_1=40$ см имеются две сферические полости радиусами $r_2\lt r_1/2$, расположенные так, что их поверхности почти соприкасаются в центре шара (центры полостей лежат на одном диаметре шара по разные стороны от его центра). В центре одной полости поместили заряд $q_1=+1$ нКл, а затем в центре другой — заряд $q_2=+2$ нКл. Найдите модуль и направление вектора напряжённости $\vec{E}$ электростатического поля в точке $O$, находящейся на расстоянии $R=1$ м от центра шара на перпендикуляре к отрезку, соединяющему центры полостей.
Источник: ФИПИ
$r_1=40$ см $=0{,}4$ м — радиус шара; $r_2\lt r_1/2$; $q_1=+1$ нКл $=1\cdot10^{-9}$ Кл; $q_2=+2$ нКл $=2\cdot10^{-9}$ Кл; $R=1$ м — расстояние от центра шара до точки $O$; $k=9\cdot10^{9}$ Н·м²/Кл².
$E$ — модуль и направление напряжённости в точке $O$.
Металлический шар работает как «сейф-перераспределитель» для зарядов. Положили заряд в полость — на её стенке наводится ровно столько же противоположного заряда, а его «двойник» (такой же по знаку, как внесённый) выталкивается на внешнюю поверхность шара. Это закон сохранения заряда плюс правило: внутри металла поля нет, поэтому весь «лишний» заряд сидит снаружи.
Заряд $q_1$ наводит на внешней поверхности $+q_1$, заряд $q_2$ наводит $+q_2$. Шар был незаряжен, значит суммарно снаружи окажется $q=q_1+q_2$.
Главное свойство проводника: снаружи поле такого шара не зависит от того, где именно внутри сидят заряды. Внешний слой заряда всегда распределяется так, что снаружи поле точно такое, как от точечного заряда $q=q_1+q_2$, помещённого в центр шара. Поэтому, где бы ни лежали полости, для точки $O$ снаружи всё равно, что в центре сидит суммарный заряд.
Считаем по формуле поля точечного заряда (точка $O$ на расстоянии $R$ от центра):
$$E=\frac{k\,(q_1+q_2)}{R^2}=\frac{9\cdot10^{9}\cdot(1\cdot10^{-9}+2\cdot10^{-9})}{1^2}=\frac{9\cdot10^{9}\cdot 3\cdot10^{-9}}{1}=27\ \text{В/м}.$$
Направление: суммарный заряд положительный, поэтому вектор $\vec{E}$ смотрит от центра шара наружу — вдоль прямой «центр шара — точка $O$», то есть от шара к точке $O$.
Итог: $E=27$ В/м, направлен радиально наружу. Заметь, что несимметричное расположение зарядов внутри и перпендикуляр в условии — это «обманка»: снаружи проводящий шар всё усредняет до точечного заряда в центре.
$E = 27$ В/м, вектор направлен радиально от центра шара к точке $O$ (наружу), вдоль линии «центр шара — точка $O$».