ID: 00016968
На $p$–$V$ диаграмме изображён процесс, проводимый с одним молем идеального одноатомного газа. Значения $p$ и $V$ приведены в относительных единицах $y = \dfrac{p}{p_0}$ и $x = \dfrac{V}{V_0}$, где $p_0$ и $V_0$ — некоторые постоянные величины давления и объёма. По графику: состояние $1$ имеет координаты $(x;y)=(5;1)$, состояние $2$ — $(1;1)$, состояние $3$ — $(1;5)$; из состояния $3$ газ идёт по прямой к состоянию $1$ (отрезок $3\!-\!1$ описывается зависимостью $y = 6 - x$). На этом отрезке температура достигает максимума в состоянии $4$ с координатами $(3;3)$. Газ переходит из состояния $1$ в состояние $4$ по пути $1\to 2\to 3\to 4$. Какую работу $A_{1234}$ совершил газ при этом переходе? Известно, что температура газа в состоянии $2$ была равна $T_2 = 150$ К.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; газ одноатомный; относительные оси $x=\dfrac{V}{V_0}$, $y=\dfrac{p}{p_0}$; состояния $1(5;1)$, $2(1;1)$, $3(1;5)$, $4(3;3)$; отрезок $3\!-\!1$: $y=6-x$; путь $1\to2\to3\to4$; $\;T_2=150$ К.
Работу газа $A_{1234}$.
Работа газа на $p$–$V$ диаграмме — это площадь под графиком, как площадь земли под забором: где идём слева направо (объём растёт) — площадь со знаком плюс (газ работает сам), где справа налево (сжимаем) — со знаком минус (работают над газом). Сложим эти куски по всему пути.
Сначала «цена клетки». В состоянии $2$ координаты $x=1,y=1$, то есть $p=p_0$, $V=V_0$. Для $1$ моля идеального газа из уравнения Менделеева — Клапейрона:
$$p_0V_0=\nu R T_2=1\cdot 8{,}31\cdot 150\approx 1246{,}5\ \text{Дж}.$$
Это и есть работа, отвечающая одной «единице площади» на графике в относительных осях, ведь $A=\int p\,dV=p_0V_0\int y\,dx$.
Считаем площадь по участкам пути $1\to2\to3\to4$ (в единицах $\int y\,dx$):
$1\to2$: идём по нижней линии $y=1$ от $x=5$ к $x=1$ (сжатие). $\int y\,dx=1\cdot(1-5)=-4$.
$2\to3$: вертикаль $x=1$, объём не меняется ($dV=0$), работа нулевая: $0$.
$3\to4$: по прямой $y=6-x$ от $x=1$ к $x=3$ (расширение). $\int_{1}^{3}(6-x)\,dx=\left[6x-\dfrac{x^2}{2}\right]_1^3=(18-4{,}5)-(6-0{,}5)=8$.
(Кстати, почему именно $x=3$ — это точка $4$? На прямой $3\!-\!1$ температура $T\sim pV\sim x\,y=x(6-x)$ максимальна при $x=3$ — отсюда «максимальная температура».)
Суммарная относительная площадь: $-4+0+8=4$. Тогда искомая работа:
$$A_{1234}=p_0V_0\cdot 4=1246{,}5\cdot 4\approx 4986\ \text{Дж}.$$
Получилось около $5$ кДж — расширение $3\!-\!4$ при высоком давлении «перевесило» начальное сжатие $1\!-\!2$ при низком давлении, поэтому итоговая работа газа положительная.
$A_{1234} \approx 4{,}99\cdot 10^{3}$ Дж $\approx 4986$ Дж.