На p – V диаграмме изображён процесс, проводимый с одним молем идеального одноатомного газа. Значения p и V приведены в относительных единицах y равно дробь: числитель: p, знаменатель: p индекс 0 конец дроби и x равно дробь: числитель: V, знаменатель: V индекс 0 конец дроби , где p индекс 0 и V индекс 0 — некоторые постоянные величины давления и объёма. По графику: состояние 1 имеет координаты левая круглая скобка x; y правая круглая скобка равно левая круглая скобка 5; 1 правая круглая скобка , состояние 2 — левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка , состояние 3 — левая круглая скобка 1; 5 правая круглая скобка ; из состояния 3 газ идёт по прямой к состоянию 1 (отрезок 3 минус 1 описывается зависимостью y равно 6 минус x ). На этом отрезке температура достигает максимума в состоянии 4 с координатами левая круглая скобка 3; 3 правая круглая скобка . Газ переходит из состояния 1 в состояние 4 по пути 1 стремится к 2 стремится к 3 стремится к 4 . Какую работу A индекс 1234 совершил газ при этом переходе? Известно, что температура газа в состоянии 2 была равна T индекс 2 равно 150 К.

A индекс 1234 приблизительно равно 4, 99 умножить на 10 в кубе Дж приблизительно равно 4986 Дж.

Задание 24 ЕГЭ по физике: На p – V диаграмме изображён процесс, проводимый с одним молем…

№2. Задание 24

ID: 00016968

На $p$ – $V$ диаграмме изображён процесс, проводимый с одним молем идеального одноатомного газа. Значения $p$ и $V$ приведены в относительных единицах $y = \dfrac{p}{p_0}$ и $x = \dfrac{V}{V_0}$ , где $p_0$ и $V_0$ — некоторые постоянные величины давления и объёма. По графику: состояние $1$ имеет координаты $(x;y)=(5;1)$ , состояние $2$ — $(1;1)$ , состояние $3$ — $(1;5)$ ; из состояния $3$ газ идёт по прямой к состоянию $1$ (отрезок $3\!-\!1$ описывается зависимостью $y = 6 - x$ ). На этом отрезке температура достигает максимума в состоянии $4$ с координатами $(3;3)$ . Газ переходит из состояния $1$ в состояние $4$ по пути $1\to 2\to 3\to 4$ . Какую работу $A_{1234}$ совершил газ при этом переходе? Известно, что температура газа в состоянии $2$ была равна $T_2 = 150$ К.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано:

$\nu=1$ моль; газ одноатомный; относительные оси $x=\dfrac{V}{V_0}$ , $y=\dfrac{p}{p_0}$ ; состояния $1(5;1)$ , $2(1;1)$ , $3(1;5)$ , $4(3;3)$ ; отрезок $3\!-\!1$ : $y=6-x$ ; путь $1\to2\to3\to4$ ; $\;T_2=150$ К.

Найти:

Работу газа $A_{1234}$ .

Решение:

Работа газа на $p$ – $V$ диаграмме — это площадь под графиком, как площадь земли под забором: где идём слева направо (объём растёт) — площадь со знаком плюс (газ работает сам), где справа налево (сжимаем) — со знаком минус (работают над газом). Сложим эти куски по всему пути.

Сначала «цена клетки». В состоянии $2$ координаты $x=1,y=1$ , то есть $p=p_0$ , $V=V_0$ . Для $1$ моля идеального газа из уравнения Менделеева — Клапейрона:

$p_0V_0=\nu R T_2=1\cdot 8{,}31\cdot 150\approx 1246{,}5\ \text{Дж}.$

Это и есть работа, отвечающая одной «единице площади» на графике в относительных осях, ведь $A=\int p\,dV=p_0V_0\int y\,dx$ .

Считаем площадь по участкам пути $1\to2\to3\to4$ (в единицах $\int y\,dx$ ):

$1\to2$ : идём по нижней линии $y=1$ от $x=5$ к $x=1$ (сжатие). $\int y\,dx=1\cdot(1-5)=-4$ .

$2\to3$ : вертикаль $x=1$ , объём не меняется ( $dV=0$ ), работа нулевая: $0$ .

$3\to4$ : по прямой $y=6-x$ от $x=1$ к $x=3$ (расширение). $\int_{1}^{3}(6-x)\,dx=\left[6x-\dfrac{x^2}{2}\right]_1^3=(18-4{,}5)-(6-0{,}5)=8$ .

(Кстати, почему именно $x=3$ — это точка $4$ ? На прямой $3\!-\!1$ температура $T\sim pV\sim x\,y=x(6-x)$ максимальна при $x=3$ — отсюда «максимальная температура».)

Суммарная относительная площадь: $-4+0+8=4$ . Тогда искомая работа:

$A_{1234}=p_0V_0\cdot 4=1246{,}5\cdot 4\approx 4986\ \text{Дж}.$

Получилось около $5$ кДж — расширение $3\!-\!4$ при высоком давлении «перевесило» начальное сжатие $1\!-\!2$ при низком давлении, поэтому итоговая работа газа положительная.

Ответ

$A_{1234} \approx 4{,}99\cdot 10^{3}$ Дж $\approx 4986$ Дж.