МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016963

Дано:

Идеальный одноатомный газ. Состояние 1: $V_1=1\ \text{м}^3$, $p_1=100\ \text{Па}$. Состояние 2: $V_2=3\ \text{м}^3$, $p_2=300\ \text{Па}$. Состояние 3: $V_3=3\ \text{м}^3$, $p_3=100\ \text{Па}$. Путь $1\to2$ — прямой отрезок, путь $2\to3$ — изохора (объём не меняется).

Найти:

$Q$ — количество теплоты на переходе $1\to3$ (и понять, получил газ тепло или отдал).

Решение:

Тепло для газа — как деньги в кошельке хозяйки: часть уходит «на жизнь» (на совершение работы, когда газ толкает поршень), часть откладывается «в копилку» (увеличивает внутреннюю энергию — запас тепла внутри). Сколько денег пришло всего ($Q$) — это сумма того, что отложили в копилку ($\Delta U$), и того, что потратили на работу ($A$). Это и есть первый закон термодинамики:

$$Q=\Delta U + A.$$

1) Копилка ($\Delta U$). У одноатомного газа внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\,pV$ (она зависит только от произведения давления на объём, по сути — от температуры). Значит изменение от состояния 1 к состоянию 3:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\,(p_3V_3-p_1V_1)=\frac{3}{2}\,(100\cdot3-100\cdot1)=\frac{3}{2}\cdot200=300\ \text{Дж}.$$

2) Работа ($A$). Работа газа — это площадь под графиком в координатах $p$–$V$. На участке $2\to3$ объём не меняется (вертикальная линия), поршень не двигается — работа нулевая. Вся работа делается на отрезке $1\to2$. Под наклонной прямой получается трапеция: две «высоты» — это давления $p_1$ и $p_2$, а «ширина» — прирост объёма $(V_2-V_1)$:

$$A=\frac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1)=\frac{100+300}{2}\,(3-1)=200\cdot2=400\ \text{Дж}.$$

Объём рос, газ расширялся и толкал поршень — работа положительная.

3) Складываем.

$$Q=\Delta U+A=300+400=700\ \text{Дж}.$$

Число положительное — значит газ получил $700$ Дж теплоты: часть ($300$ Дж) ушла в копилку внутренней энергии, часть ($400$ Дж) — на работу расширения.