ID: 00016961
В закрытый теплопроводящий цилиндр объёмом $V = 20$ л с гладкими внутренними стенками вставлен тонкий тяжёлый поршень, находящийся вначале, при горизонтальном положении цилиндра, около его левой крышки. Внутренний объём цилиндра сообщается с сухим атмосферным воздухом, находящимся при нормальных условиях ($p_0 = 10^5$ Па), через тонкую трубку с открытым краном, который может отсоединять цилиндр от атмосферы. В исходном положении поршень находится чуть левее отверстия трубки, поэтому весь воздух правее поршня (практически весь объём цилиндра) сообщается с атмосферой и находится под давлением $p_0$.
В некоторый момент цилиндр ставят в вертикальное положение поршнем наверху. Поршень опускается вниз, сразу перекрывая собой отверстие трубки и сжимая запертый под ним воздух; пространство над поршнем при этом остаётся сообщённым с атмосферой через трубку. После установления равновесия поршень находится на высоте $0{,}4l$ над дном цилиндра (высота цилиндра $l = 1$ м).
Затем кран перекрывают (запирая и воздух над поршнем) и снова кладут цилиндр горизонтально. На какое расстояние $\Delta l$ сдвинется поршень после нового установления равновесия?
На рисунке к задаче изображён цилиндр (сначала горизонтальный, у левой крышки — тонкий поршень) и стрелка ускорения свободного падения $\vec{g}$, направленная вниз.
Источник: ФИПИ
$V = 20$ л; $\;l = 1$ м; $\;p_0 = 10^5$ Па (нормальные условия); цилиндр теплопроводящий ($T = T_0 = \text{const}$), стенки гладкие; высота поршня над дном в вертикальном положении $h = 0{,}4l$.
$\Delta l$ — смещение поршня после возврата в горизонтальное положение.
Цилиндр — как закрытый шприц с тяжёлым подвижным дном: пока «дырочка» (трубка) открыта, воздух дышит с улицей и держит уличное давление. Стенки тёплые, температура всё время одинаковая, поэтому для каждой запертой порции работает простой закон Бойля — Мариотта: $pV=\text{const}$ (короче столбик — во столько же раз больше давление).
Пусть площадь поршня $S$, тогда $V = Sl$. Сначала, лёжа с открытым краном, нижняя (будущая) порция занимает весь цилиндр при уличном давлении: состояние $p_0,\;V$.
Поставили вертикально — поршень упал, запер трубку и сжал воздух под собой до высоты $h = 0{,}4l$, то есть до объёма $V_1 = S\cdot 0{,}4l = 0{,}4V$. По закону Бойля для нижней порции (газ A):
$p_0 V = p_1\,(0{,}4V)\;\Rightarrow\;p_1 = \dfrac{p_0}{0{,}4} = 2{,}5\,p_0.$
(Попутно вес поршня: из равновесия $p_1 S = p_0 S + mg$ следует $\dfrac{mg}{S}=1{,}5\,p_0$ — но для ответа он не понадобится.)
Перекрыли кран: над поршнем заперлась порция воздуха (газ B) при уличном давлении $p_0$ длиной $l - 0{,}4l = 0{,}6l$, а под поршнем (газ A) — давление $2{,}5p_0$ длиной $0{,}4l$.
Кладём цилиндр горизонтально. Тяжесть поршня теперь поперёк и на давления не влияет, поэтому в равновесии $p_A = p_B$. Пусть длины стали $l_A$ и $l_B$, $l_A + l_B = l$. Закон Бойля для каждой порции:
$2{,}5p_0\cdot 0{,}4l = p_A l_A\;\Rightarrow\;p_A = \dfrac{p_0 l}{l_A};\qquad p_0\cdot 0{,}6l = p_B l_B\;\Rightarrow\;p_B = \dfrac{0{,}6\,p_0 l}{l_B}.$
Приравниваем: $\dfrac{p_0 l}{l_A} = \dfrac{0{,}6\,p_0 l}{l_B}\;\Rightarrow\;l_B = 0{,}6\,l_A$. Вместе с $l_A + l_B = l$: $1{,}6\,l_A = l\;\Rightarrow\;l_A = 0{,}625\,l.$
Нижний столбик A удлинился с $0{,}4l$ до $0{,}625l$, на столько же сдвинулся поршень:
$\Delta l = 0{,}625l - 0{,}4l = 0{,}225\,l = 0{,}225\cdot 1 = 0{,}225\ \text{м} = 22{,}5\ \text{см}.$
Итак, поршень переедет на $22{,}5$ см в сторону бывшей нижней порции: сильнее сжатый газ A распрямляется и толкает поршень.
$\Delta l = 0{,}225\,l = 0{,}225$ м $= 22{,}5$ см