ID: 00016958
Над одним молем идеального одноатомного газа провели процесс $1\text{–}2\text{–}3$, график которого приведён на рисунке в координатах $V/V_1$ и $p/p_1$, где $V_1 = 1\ \text{м}^3$ и $p_1 = 2\cdot10^5\ \text{Па}$ — объём и давление газа в состоянии $1$.
График состоит из двух прямолинейных участков. Сначала газ идёт горизонтально слева направо из точки $1$ с координатами $\left(V/V_1;\,p/p_1\right)=(1;\,1)$ в точку $2$ с координатами $(3;\,1)$ — давление постоянно, объём растёт (изобарное расширение). Затем газ идёт вертикально вверх из точки $2$ в точку $3$ с координатами $(3;\,4)$ — объём постоянен, давление растёт (изохорный нагрев).
Найдите количество теплоты, сообщённое газу в данном процессе $1\text{–}2\text{–}3$.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; одноатомный газ; $V_1=1\ \text{м}^3$; $p_1=2\cdot10^5\ \text{Па}$.
По графику: участок $1\text{–}2$ — изобара $p=p_1$, объём $V_1\to 3V_1$; участок $2\text{–}3$ — изохора $V=3V_1$, давление $p_1\to 4p_1$.
$Q$ — теплоту, сообщённую газу за весь процесс $1\text{–}2\text{–}3$.
Газ удобно представить как кошелёк: подведённое тепло $Q$ либо оседает внутри как внутренняя энергия $\Delta U$, либо тратится на работу $W$, когда газ толкает поршень наружу. Это первый закон термодинамики: $Q=\Delta U+W$. Идём по участкам и в конце складываем.
Участок 1–2 (изобара, давление постоянно). Газ расширяется и сам совершает работу:
$$W_{12}=p_1\,(3V_1-V_1)=2p_1V_1=2\cdot2\cdot10^5\cdot1=4\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$, её изменение:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\,(p_1\cdot3V_1-p_1\cdot V_1)=\frac{3}{2}\cdot2p_1V_1=3p_1V_1=6\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Тепло на участке: $Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=6\cdot10^5+4\cdot10^5=10\cdot10^5\ \text{Дж}.$
Участок 2–3 (изохора, объём заперт). Поршень стоит, работа $W_{23}=0$, всё тепло идёт в нагрев:
$$Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\,(4p_1\cdot3V_1-p_1\cdot3V_1)=\frac{3}{2}\cdot3V_1\cdot3p_1=\frac{27}{2}\,p_1V_1=13{,}5\cdot2\cdot10^5=27\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Суммируем. На обоих участках тепло подводится, поэтому складываем:
$$Q=Q_{12}+Q_{23}=10\cdot10^5+27\cdot10^5=37\cdot10^5\ \text{Дж}=3{,}7\cdot10^6\ \text{Дж}.$$
Итого газу сообщили около $3700$ кДж теплоты.
$Q = 3{,}7\cdot10^6$ Дж $= 3700$ кДж