Дано:

p_1=30 кПа =3\cdot10^{4} Па; \;V_1=3 м^3; \;p_2=p_1=3\cdot10^{4} Па; \;V_2=1 м^3; \;p_3=10 кПа =10^{4} Па; \;V_3=V_2=1 м^3; газ одноатомный.

Найти:

Q — количество теплоты за весь переход 1\to3.

Решение:

Газ удобно представить кошельком с «тепловой мелочью» — внутренней энергией. Касса кошелька подчиняется первому закону термодинамики (закон сохранения энергии для газа): Q=\Delta U+W, где \Delta U — изменение внутренней энергии, W — работа самого газа. Если итог по Q окажется со знаком минус, значит газ теплоту не получил, а отдал.

Для одноатомного газа внутреннюю энергию считаем прямо по точкам диаграммы: U=\dfrac{3}{2}pV.

Сначала \Delta U. В точке 1: U_1=\dfrac{3}{2}p_1V_1=\dfrac{3}{2}\cdot3\cdot10^{4}\cdot3=13{,}5\cdot10^{4} Дж. В точке 3: U_3=\dfrac{3}{2}p_3V_3=\dfrac{3}{2}\cdot10^{4}\cdot1=1{,}5\cdot10^{4} Дж. Изменение: \Delta U=U_3-U_1=1{,}5\cdot10^{4}-13{,}5\cdot10^{4}=-12\cdot10^{4} Дж. Газ остыл, энергия упала.

Теперь работа газа W — площадь под линией процесса. На участке 1\to2 газ сжимают при постоянном давлении p_1 от 3 м^3 до 1 м^3; объём уменьшается, работа отрицательная: W_{12}=p_1\,(V_2-V_1)=3\cdot10^{4}\cdot(1-3)=-6\cdot10^{4} Дж. На участке 2\to3 объём постоянный (V=\text{const}), поршень не движется: W_{23}=0.

Складываем по первому закону:

Q=\Delta U+W=-12\cdot10^{4}+(-6\cdot10^{4})=-18\cdot10^{4}\ \text{Дж}=-180\ \text{кДж}.

Минус показывает, что газ отдал 180 кДж теплоты. Это ожидаемо: газ и охлаждался (внутренняя энергия упала), и его ещё сжимали (над ним совершали работу) — обе причины заставляют газ сбрасывать энергию наружу в виде теплоты.