Дано:

p_1=30 кПа =3\cdot10^{4} Па; \;V_1=1 м^3; \;p_2=10 кПа =10^{4} Па; \;V_2=V_1=1 м^3; \;p_3=p_2=10^{4} Па; \;V_3=3 м^3; газ одноатомный.

Найти:

Q — количество теплоты за весь переход 1\to3.

Решение:

Представь газ как кошелёк, в котором лежит «тепловая мелочь» — внутренняя энергия. Деньги в кошельке могут меняться двумя способами: либо газу подкинули теплоту Q, либо он сам потратился на работу W, расширяясь и расталкивая поршень. Это и есть первый закон термодинамики (закон сохранения энергии для газа): Q=\Delta U+W, где \Delta U — изменение внутренней энергии, W — работа, которую совершает сам газ.

У одноатомного газа внутренняя энергия особенно проста: U=\dfrac{3}{2}pV. Поэтому считать её удобно прямо по точкам на диаграмме, нам даже температура отдельно не нужна.

Сначала \Delta U. В точке 1: U_1=\dfrac{3}{2}p_1V_1=\dfrac{3}{2}\cdot3\cdot10^{4}\cdot1=4{,}5\cdot10^{4} Дж. В точке 3: U_3=\dfrac{3}{2}p_3V_3=\dfrac{3}{2}\cdot10^{4}\cdot3=4{,}5\cdot10^{4} Дж. Они совпали, значит \Delta U=U_3-U_1=0.

Теперь работа газа W. Работа — это площадь под линией процесса на pV-диаграмме. На участке 1\to2 объём не меняется (V=\text{const}), поршень стоит — газ не совершает работы: W_{12}=0. На участке 2\to3 газ расширяется при постоянном давлении p_2, и работа равна W_{23}=p_2\,(V_3-V_2)=10^{4}\cdot(3-1)=2\cdot10^{4} Дж. Расширение, поэтому работа положительная.

Складываем по первому закону:

Q=\Delta U+W=0+2\cdot10^{4}=2\cdot10^{4}\ \text{Дж}=20\ \text{кДж}.

Получилось +20 кДж: внутренняя энергия не изменилась, поэтому вся подведённая теплота целиком ушла на работу расширения. Знак «плюс» означает, что газ теплоту именно получил.