Дано:

\nu=1 моль одноатомного идеального газа; V_1=10 л, p_1=1\cdot10^5 Па; V_2=10 л, p_2=4\cdot10^5 Па; V_3=40 л, p_3=4\cdot10^5 Па. Цикл 1\!-\!2\!-\!3\!-\!1: 1\!-\!2 — изохора, 2\!-\!3 — изобара, 3\!-\!1 — прямая.

Найти:

\eta — КПД цикла.

Решение:

КПД цикла — это как «полезный выхлоп» двигателя: из всего тепла, которое мы влили в газ, какая доля превратилась в полезную работу. Формула простая: \eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}, где A — работа газа за цикл, а Q_{\text{нагр}} — тепло, полученное газом только на тех участках, где он нагревается (где тепло «вливают», а не «сливают»).

Работа за цикл A. Работа газа за замкнутый цикл численно равна площади фигуры внутри цикла на pV-диаграмме. Точки 1(10;1), 2(10;4), 3(40;4) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в точке 2. Его катеты: вертикальный — это перепад давления \Delta p=(4-1)\cdot10^5=3\cdot10^5 Па, горизонтальный — перепад объёма \Delta V=(40-10)\cdot10^{-3}=0{,}03 м³. Площадь треугольника:

A=\dfrac{1}{2}\,\Delta p\,\Delta V=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot10^5\cdot0{,}03=4500 Дж.

Где газ получает тепло. Найдём температуры в точках из уравнения pV=\nu RT (T=\dfrac{pV}{R}): T_1\approx120 К, T_2\approx481 К, T_3\approx1925 К.

Участок 1\!-\!2 (изохора, объём не меняется, A_{12}=0): газ нагревается (T_1\to T_2), значит тепло вливается. Для одноатомного газа C_V=\tfrac{3}{2}R:

Q_{12}=\dfrac{3}{2}R\,(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\,\Delta(pV)=\dfrac{3}{2}\cdot(p_2-p_1)V_1=\dfrac{3}{2}\cdot3\cdot10^5\cdot0{,}01=4500 Дж.

Участок 2\!-\!3 (изобара, давление постоянно): газ расширяется и нагревается (T_2\to T_3) — тепло тоже вливается. Для одноатомного газа C_p=\tfrac{5}{2}R:

Q_{23}=\dfrac{5}{2}R\,(T_3-T_2)=\dfrac{5}{2}\,p_2\,(V_3-V_2)=\dfrac{5}{2}\cdot4\cdot10^5\cdot0{,}03=30000 Дж.

Участок 3\!-\!1 (прямая вниз): объём уменьшается и температура падает по всей линии, поэтому здесь тепло только отдаётся (Q_{31}\lt 0) — в «полезный приход» не идёт.

Считаем КПД. Газ получает тепло на участках 1\!-\!2 и 2\!-\!3:

Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=4500+30000=34500 Дж.

\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}=\dfrac{4500}{34500}=\dfrac{3}{23}\approx0{,}130=13\,\%.

Двигатель так себе: из влитых 34{,}5 кДж в работу ушло лишь около 4{,}5 кДж — примерно восьмая часть.