МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016942

Дано:

$\nu=1$ моль одноатомного идеального газа; $V_1=10$ л, $p_1=1\cdot10^5$ Па; $V_2=10$ л, $p_2=4\cdot10^5$ Па; $V_3=40$ л, $p_3=4\cdot10^5$ Па. Цикл $1\!-\!2\!-\!3\!-\!1$: $1\!-\!2$ — изохора, $2\!-\!3$ — изобара, $3\!-\!1$ — прямая.

Найти:

$\eta$ — КПД цикла.

Решение:

КПД цикла — это как «полезный выхлоп» двигателя: из всего тепла, которое мы влили в газ, какая доля превратилась в полезную работу. Формула простая: $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}$, где $A$ — работа газа за цикл, а $Q_{\text{нагр}}$ — тепло, полученное газом только на тех участках, где он нагревается (где тепло «вливают», а не «сливают»).

Работа за цикл $A$. Работа газа за замкнутый цикл численно равна площади фигуры внутри цикла на $pV$-диаграмме. Точки $1(10;1)$, $2(10;4)$, $3(40;4)$ образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в точке 2. Его катеты: вертикальный — это перепад давления $\Delta p=(4-1)\cdot10^5=3\cdot10^5$ Па, горизонтальный — перепад объёма $\Delta V=(40-10)\cdot10^{-3}=0{,}03$ м³. Площадь треугольника:

$A=\dfrac{1}{2}\,\Delta p\,\Delta V=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot10^5\cdot0{,}03=4500$ Дж.

Где газ получает тепло. Найдём температуры в точках из уравнения $pV=\nu RT$ ($T=\dfrac{pV}{R}$): $T_1\approx120$ К, $T_2\approx481$ К, $T_3\approx1925$ К.

Участок $1\!-\!2$ (изохора, объём не меняется, $A_{12}=0$): газ нагревается ($T_1\to T_2$), значит тепло вливается. Для одноатомного газа $C_V=\tfrac{3}{2}R$:

$Q_{12}=\dfrac{3}{2}R\,(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\,\Delta(pV)=\dfrac{3}{2}\cdot(p_2-p_1)V_1=\dfrac{3}{2}\cdot3\cdot10^5\cdot0{,}01=4500$ Дж.

Участок $2\!-\!3$ (изобара, давление постоянно): газ расширяется и нагревается ($T_2\to T_3$) — тепло тоже вливается. Для одноатомного газа $C_p=\tfrac{5}{2}R$:

$Q_{23}=\dfrac{5}{2}R\,(T_3-T_2)=\dfrac{5}{2}\,p_2\,(V_3-V_2)=\dfrac{5}{2}\cdot4\cdot10^5\cdot0{,}03=30000$ Дж.

Участок $3\!-\!1$ (прямая вниз): объём уменьшается и температура падает по всей линии, поэтому здесь тепло только отдаётся ($Q_{31}\lt 0$) — в «полезный приход» не идёт.

Считаем КПД. Газ получает тепло на участках $1\!-\!2$ и $2\!-\!3$:

$Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=4500+30000=34500$ Дж.

$\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}=\dfrac{4500}{34500}=\dfrac{3}{23}\approx0{,}130=13\,\%$.

Двигатель так себе: из влитых $34{,}5$ кДж в работу ушло лишь около $4{,}5$ кДж — примерно восьмая часть.