ID: 00016912
Заряженный железный шарик радиусом r опущен в сосуд с маслом плотностью ρ = 900 кг/м3. В масле создали однородное вертикальное электрическое поле напряжённостью Е1 = 30 кВ/см, в результате чего шарик оказался в равновесии, будучи взвешенным в масле. Поле какой напряжённостью Е2 надо создать в масле в данном сосуде, чтобы шарик того же размера и с таким же зарядом, но изготовленный из алюминия, тоже оказался в равновесии?
Источник: ФИПИ
$\rho=900$ кг/м³ (масло); $\;E_1=30$ кВ/см; $\;\rho_{\text{Fe}}=7800$ кг/м³; $\;\rho_{\text{Al}}=2700$ кг/м³; шарик заряжён зарядом $q$, радиус $r$ один и тот же
$E_2$ — напряжённость поля для алюминиевого шарика
Представь шарик как ныряльщика в бассейне. Масло выталкивает его вверх (Архимед), вес тянет вниз. Если ныряльщик тяжелее воды, он тонет — и чтобы удержать его «в подвешенном состоянии», нужна добавочная сила вверх. Эту силу и создаёт электрическое поле, дёргая за заряд. Чем тяжелее шарик по сравнению с маслом, тем сильнее надо тянуть полем.
Шарик в равновесии — значит сумма сил равна нулю. Вниз действует сила тяжести $\rho_{\text{т}} V g$ (где $\rho_{\text{т}}$ — плотность материала шарика, $V$ — его объём), вверх — сила Архимеда $\rho V g$ и электрическая сила $qE$:
$qE = \rho_{\text{т}} V g - \rho V g = (\rho_{\text{т}}-\rho)\,V g.$
Объём $V$ и заряд $q$ у железного и алюминиевого шариков одинаковы, поэтому запишем это уравнение для обоих и поделим одно на другое — лишнее ($q$, $V$, $g$) сократится:
$\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{\rho_{\text{Al}}-\rho}{\rho_{\text{Fe}}-\rho}\;\Rightarrow\;E_2=E_1\cdot\dfrac{\rho_{\text{Al}}-\rho}{\rho_{\text{Fe}}-\rho}.$
Подставляем числа:
$E_2=30\cdot\dfrac{2700-900}{7800-900}=30\cdot\dfrac{1800}{6900}\approx 7{,}8\ \text{кВ/см}.$
Алюминий легче железа, поэтому его не нужно так сильно держать полем — напряжённость вышла почти вчетверо меньше исходной.
$E_2 \approx 7{,}8$ кВ/см