ID: 00016912
Заряженный железный шарик радиусом r опущен в сосуд с маслом плотностью ρ = 900 кг/м3. В масле создали однородное вертикальное электрическое поле напряжённостью Е1 = 30 кВ/см, в результате чего шарик оказался в равновесии, будучи взвешенным в масле. Поле какой напряжённостью Е2 надо создать в масле в данном сосуде, чтобы шарик того же размера и с таким же зарядом, но изготовленный из алюминия, тоже оказался в равновесии?
Источник: ФИПИ
\rho=900 кг/м³ (масло); \;E_1=30 кВ/см; \;\rho_{\text{Fe}}=7800 кг/м³; \;\rho_{\text{Al}}=2700 кг/м³; шарик заряжён зарядом q, радиус r один и тот же
E_2 — напряжённость поля для алюминиевого шарика
Представь шарик как ныряльщика в бассейне. Масло выталкивает его вверх (Архимед), вес тянет вниз. Если ныряльщик тяжелее воды, он тонет — и чтобы удержать его «в подвешенном состоянии», нужна добавочная сила вверх. Эту силу и создаёт электрическое поле, дёргая за заряд. Чем тяжелее шарик по сравнению с маслом, тем сильнее надо тянуть полем.
Шарик в равновесии — значит сумма сил равна нулю. Вниз действует сила тяжести \rho_{\text{т}} V g (где \rho_{\text{т}} — плотность материала шарика, V — его объём), вверх — сила Архимеда \rho V g и электрическая сила qE:
qE = \rho_{\text{т}} V g - \rho V g = (\rho_{\text{т}}-\rho)\,V g.
Объём V и заряд q у железного и алюминиевого шариков одинаковы, поэтому запишем это уравнение для обоих и поделим одно на другое — лишнее (q, V, g) сократится:
\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{\rho_{\text{Al}}-\rho}{\rho_{\text{Fe}}-\rho}\;\Rightarrow\;E_2=E_1\cdot\dfrac{\rho_{\text{Al}}-\rho}{\rho_{\text{Fe}}-\rho}.
Подставляем числа:
E_2=30\cdot\dfrac{2700-900}{7800-900}=30\cdot\dfrac{1800}{6900}\approx 7{,}8\ \text{кВ/см}.
Алюминий легче железа, поэтому его не нужно так сильно держать полем — напряжённость вышла почти вчетверо меньше исходной.
E_2 \approx 7{,}8 кВ/см